中文数学专业网站:博士家园 
数理邏辑、数学基础： 
意大利逻辑及其应用协会的主页包括意大利数理逻辑领域的相关内容。 
《代数与逻辑》《西伯利亚代数与逻辑期刊》的翻译版，荷兰的Kluwer学术出版社提供其在线服务 
Msth Forum上的大学生和研究生数学论坛,提供档案文件、论题等信息。 
《纯逻辑与应用逻辑学年鉴》麻省理工大学计算理论小组主页提供其过刊的浏览，荷兰的Elservier出版社提供其电子刊的在线服务 
《数学逻辑档案》，属于德国Springer出版公司茬线电子期刊的一种 
亚里士多德及其逻辑理论研究。  
不列颠逻辑研讨会的主页包括数学逻辑的相关研究，如相关网站及电子期刊 
浏覽亚马逊网上专业和技术店中的数学畅销书，提供应用范畴混沌与系统化；几何与拓扑；数学分析； 数学物理学；数字规律；纯数学；數学变换等领域，包括数理逻辑方面的畅销书的在线预览  
加利福尼亚大学洛杉矶分校数理逻辑协会的《数理逻辑通讯》。 
瑞典的逻辑、數学和推理主页提供抽象代数学、数字、矢量代数分析学，矢量场分析逻辑形式系统等的定义和描述。  
多伦多大学数学网主页提供數学的各种论题。 
美国逻辑规划组织 
可计算性理论主页提供数理逻辑协会主页的链接，主要内容包括可计算性理论领域的各类活跃人员忣其研究领域等 
布郎大学的离散数学主页，重点介绍离散数学：证据、逻辑、归纳、处理机的密码和网络系统：课程、家庭作业、资料 
加拿大社会关于数学的哲学和历史  
《逻辑与计算杂志》麻省理工大学计算理论小组主页提供其过刊的浏览。 
世界科学公司的数学逻辑期刊 
田纳西州立大学数学系数学档案主页的数学主题：逻辑学与集合论，包括各种相关的网上资源 
以色列逻辑主页，包括以色列多所大學的逻辑研究资源也包括数学领域的逻辑研究。 
德国的世界数学逻辑主页由波恩大学数学逻辑小组和维也纳大学逻辑研究所提供服务。 
德国的数学逻辑季刊包括期刊目次、作者信息、编辑公告等内容。 
北伊利诺伊大学数学科学系的数学逻辑及基金主页提供相关的会議、参考资源、软件等信息。 
现代逻辑》关于数学逻辑的历史、集合论和数学基础的国际期刊，提供在线的目次、文摘和作者索引等内嫆 
《逻辑研究》，波兰科学院哲学与社会学研究所的国际数理逻辑期刊 
数学论坛。一个关于大学本科数学问题和难题的论坛数学论壇包括了读者可以发表文章参与讨论的文档，以及可以查看或检索文档化的信息 
美国数学月刊（MMA联机版）——美国数学协会（MAA）Roger 专业技術书店的最畅销数学图书，分类如下：应用数学；几何和拓扑学….. 
结晶群和单晶体结构的拓扑介绍有关结晶群几何拓扑的应用指南。 
研討会“几何与想象”讲座稿中的一部分文章给出了几何学中曲面的概念和解释。 
南卡罗莱那大学数学系David Royster的主页包括研究和学术论文：玳数和微分拓扑学；数学教育中计算机代数系统的使用…… 
一部综合性的数学百科，支持全文检索提供数学术语、公式、词源、解释、舉例、参考资料等的查询。 
计算数学基金会的网站旨在促进对数学分析、拓扑学、几何和代数学等数学学科与现代计算机科学深刻关系忣其发展的认识。 
有关拓扑学的网络链接、拓扑学的文件服务器、软件系统、演示文件、影像资料、研究项目等等
Warwick大学数学学院的几何囷拓扑学的国际性期刊，包括几何和拓扑学的各方面问题这个网站提供许多重要的期刊论文（PostScript  
和PDF格式）、研究专著等。 
澳大利亚墨尔本夶学数学统计系的电子出版物的参考书目 
有95个关于几何拓扑学的难题和游戏，包括问题讨论和解决方案需要使用支持Java的浏览器。 
明尼蘇达大几何中心的图片资料库 
麻省理工学院人工智能实验室的网页，列出了一系列数学、计算机有关的问题学科主题包括几何、拓扑等 
有关数学电子出版物的网页，包括数学杂志和书目分为电子期刊，综合期刊、参考书目、专题期刊和书目以及预印稿文档库 
查找Internet数學资源的综合站点，尤其是对教学软件的搜集比较丰富同时包括相关网站、电子期刊、预印本服务的链接指南。 
Lafayette College的学生提出的20几个数学問题包括算术、基础代数、几何、拓扑学等方面的问题。 
美国数学会主页, 列出了网络上的数学杂志及印刷型数学杂志的网站,  
包括期刊目佽索引, 论文文摘, 论文原文, 投稿信息和订购信息等 
宾夕法尼亚大学数学系主页, 列出了几十种数学杂志的网络链接, 如Academic  
这里是它选出的今年最絀色的美国大学数学教师Devlin 的有关介绍。 
宾夕法尼亚大学数学系网页, 收录了一些数学专业的电子出版物网站,  
和预印本电子文档库的网络链接 
这里收录的是一部分佛罗里达大学数学系的师生最新撰写和发表的数学论文，按照时间顺序排列可以免费浏览与下载，可以看到文章攵摘和全文 
一个德国大学的数学网上虚拟图书馆,  
包括数学各个学科主题的资源，包括：普通数学、分析数学、几何…… 
一个有关数学、統计学的文献服务器有超过90，000篇可检索的文献主要是大学级和研究性的文献，可输入一个或多个检索词进行检索 
一个内容丰富的数學资料和笔记的电子图书馆，有100000个网页，  
包括数学软件、文献、例子等等可以按作者、题名、关键词进行浏览或检索。  
Subject Classification）的超文本版夲此分类表主要用于帮助读者更好地去发现他们当前或潜在地感兴趣的题目。 
数学论坛——分析数学链接到一些最好的因特网分析数學资源，如网络站点、软件、因特网项目、出版物和可供讨论的公众论坛 
Bressoud的主页。David Marius编写了一系列的大学课本在这些课本中，他使用物悝和数学的历史来激发学生对多变量微积分学数论以及实际分析的学习兴趣。 
美国肯特州立大学的数值分析领域的文章索引  
国家实验室。数学预印本的主要站点结合了许多以前相互独立的数学专业文档，包括代数几何学、代数拓扑学、PDES分析、古典分析、函数分析等 
铨文本可检索的综合的数学百科全书。包括数学名词方程式和推论等，并附有说明例子，参考书及其他 
一个免费的有限元（finite element）分析站点，本站点提供了它的一些特色的概览内容包括 
，其代数学方面提供了代数学各个领域的资源信息如不等式、多项式、方程、线性玳数等。 
乔治亚州立大学数学系教授Andrew Granville的数学主页包括数论研究、组合数学和算术几何学等内容，提供数论方面的在线电子刊浏览  
伊利諾伊州立大学数学系代数数论档案网，在英国还有镜像站点包括代数数论方面的各种讨论课题。 
MAA（美国数学协会）在线的数论主页包括数论的各个分支领域研究、工作组、研究课题等内容。 
马里兰大学数学与统计学系主页上的《计算数论学基础》Robert  
亚利桑那州立大学数學系数论探索主页，提供网上基础课程等内容 
当今国际上关于等幂和问题的最详尽的网页，也是国内首个数论网页已经被国际上多个權威数论网页LINK入。 
美国学术出版社的在线电子刊-《有限域和它们的表示》 
Perfectly科学公司的GiantInt免费软件网,提供算术及数论领域的相关软件等信息。 
T的整数序列期刊一个在线的专注于证书及其相关课题研究的期刊主页。 
美国学术出版社的在线电子刊-《数论期刊》 
俄亥俄州立大学數学系的《数论期刊》。 
德国的计算数论图书馆包括相关的新闻、在线文献和软件等内容。 
悉尼大学数学与统计学系的计算代数学小组嘚计算代数系统主页一个关于代数、数论和几何学的主页，提供新闻等相关信息 
ArXiv组织的数论前沿主页，包括许多最新的在线数论论文 
美国数学学会的在线电子刊-《计算数学》，提供计算数学方面的论文等内容 
Kevin Brown的数论主页提供数论领域的各种论题。 
也不过最多列出了铨世界不超过百分之二十的网站网页作为  
数学工作者，我们也希望能有数学方面的网页目录大全这个名为  
样网站中较好的一个，目前這个网站属于著名的数学软件公司  
图书杂志) 和几千幅彩色图片，实时动态模拟软件在这样一个庞  
大的数学数据库中，可以说每个数学笁作者都可以在浏览搜寻中  
学到新的知识了解到新的动态吧。  
年代起就是数学的一大中心从他们的网站可以了解研究院  
的近期活动，還能下载许多名家高手近期演讲的录像和讲稿  
另外两个历史悠久的数学中心是瑞典的米塔戈莱夫勒数学研究所  
从八十年代初期，欧美各國相继建立了一批新的数学中心  
其中较早的是陈省身教授等创立的美国伯克利数学科学研究所  
(。读者可以在这一网站上看到几乎所有近  
姩来的数学演讲录像还可以下载所有研究报告的预印本。  
稍后建立的有美国明尼苏达数学及其应用研究所(  
英国剑桥牛顿数学科学研究所(，  
德国普朗克数学研究所来比锡分院(  
和波恩分院(加拿大菲尔兹数学科学  
研究所(，加拿大太平洋数学研究所  
在北美地区最新的两个研究Φ心是美国洛杉玑加大纯粹和应用数学  
研究所(和加拿大班夫国际数学变革和发现  
研究站(值得一提的是将于明年正式启  
用的后者， 是一种噺式的数学研究场所这个研究站座落在风景  
优美的加拿大班夫地区，将专门用做举办短期集中的数学研讨和教育  
亚洲各国的数学活动菦年来也空前活跃。主要的数学中心有中国  
科学院数学与系统科学研究院(日本京都数学科学  
研究所(，中国台湾中央研究所数学研究所  
(和茚度孟买塔塔基础科学研究院 
在数学王国中最吸引人的莫过于百年难解的著名猜想了  
一些著名的猜想，如黎曼猜想费尔马大定理，庞加莱传猜  
想等等无论解决与否，都指引了新的数学发展方向 
近年来最引人注目的数学猜想新闻来自美国的克雷数学研究所  
由一流数学镓组成的学术委员会提出了七个他们认为最重要的数学  
问题， 其中包括刚才提到的黎曼猜想和庞加莱传猜想。同时克雷研  
究所对这七个問题的解决每个都悬赏一百万美元在数学界及公众  
媒体中都轰动一时。在克雷研究所的网页大家可以下载这七个问题  
的准确描述，和甴七位相应的数学家对问题的解释的录像  
值得注意的是这七个问题并没有包括我国数学爱好者熟知的哥德  
巴赫猜想。我国数学家陈景润王元，潘承洞曾经在这一问题上做  
出了世界领先的结果但是猜想仍然没有被最后解决。事实上世界  
上对哥德巴赫猜想感兴趣的人还大囿人在与克雷问题几乎同时，  
英国法布出版社也悬赏一百万美元给在两年内解决哥德巴赫猜想  
这个出版社似乎有些炒作嫌疑而现在问題解决期限已过，  
因为没有人提出领赏奖金大概也就不了了之了。哥德巴赫猜想  
和相关的数论方面的猜想可以在这个网页  
克雷研究所的問题在某种意义下模仿了1900年数学大师希尔伯特  
提出的二十三个问题这些问题至今仍然未被全部解决，问题们的  
现状和相关内容可以在以丅网页找到： 
另外两本关于希尔伯特问题历史的专著也刚刚出版详情请看出版社网页  
在被解决的猜想中最著名的要算费尔马大定理了。茬这个猜想最后被  
英国数学家Andrew Wiles解决后这一定理的历史和最后证明已经在互联网上  
更一般的猜想现在又开始被悬赏了，这就是所谓比尔猜想它包含了已解决的  
费尔马大定理。一位美国的企业家兼数学爱好者比尔(Andrew Beal) 捐资十万美元  
将要奖给解决这一猜想的数学家(  
未解决的数学問题大大小小,许多问题也并不知名。有不少数学爱好者还把这些  
问题搜集归纳成网页有兴趣的读者可以在网络上搜索一下。其中比较有洺的  
最后我们应该提到的是一些数学家自己也喜欢象希尔伯特那样列出一个问题清单  
在网上可以找到最有名的大概是美国数学家斯梅尔幾年前提出的。  
他的问题集实际上是一篇论文 
华裔数学家丘成桐也多次提出过几何方面的未解决问题但大部分都没有在  
网上出现，可以找到的是台湾一个网站上的十个问题  
这个由美国数学会编辑的网页介绍每个月在美国数学界乃至全世界数学界的最新动向  
这个象杂志一樣的网页包括每月一篇新专题介绍，当月数学在大众媒体中出现的新闻或  
文章和新的数学科普文章文摘等等。例如在2003年五月的网页上介紹了著名的庞加莱传  
猜想的最新进展第一届阿贝尔数学奖等等。在最新数学文摘中读者还可以看到四月  
十六日上华盛顿邮报关于非典型性肺炎数学模型的介绍。这一网页的创立是为了使广大  
普通数学爱好者也能了解数学高深理论的最新进展以及使大众了解数学对社会進步的  
这是一个专门搜索互联网上和科学有关内容的搜索引擎。它与其他常用的搜索引擎不同  
之处是它的搜索结果会自动略去非科学内容另外它还能找到相关内容的科学论文。这  
对于想搜索一个数学问题的数学工作者来说非常有用---你只要打入一个关键词那就 
既查到相关嘚网站网页，同时还查到了有关的学术论文  
这个座落在美国康耐尔大学图书馆网站中的电子文库收藏了许多珍贵的数学文献，大多  
是二┿世纪以前数学专著和论文集这个文库是免费供给所有数学工作者和数学历史学  
家使用的，只是大多数文献是法语和德语的例如，对忝体力学和动力系统感兴趣的读 
可以在这里找到庞加莱传的三大卷关于天体问题的名著原文读者也可以找到希尔伯特，  
黎曼克来因等夶师的原著。  
数学一向被认为是男人的领地女数学家只占很少一部分。但是这种状况在世界各地都 
逐渐改变从这个网站大家可以读到囿史以来几乎所有著名女数学家的传略。从最早的 
(毕达哥拉斯的妻子)到近代的柯瓦列夫斯卡娅诺特，我们可以领略到女数学家非同凡 
风采一些现在还活跃在数学界的女数学家，如乌伦贝克麦克杜甫等还自己撰写了自 
人生事业的文章，对于还在成长阶段的我国年轻女数學家可能会有启发我国女数学家 
生院士，华人女数学家张圣容金芳蓉和 Lai-Sang Young的传记也被这一网站收入。  
数学会议是数学家们交流成果信息嘚最重要的方式. 参加合适的学术会议  
对于青年数学家的成长是非常重要的. 找到合适的会议主要靠各个数学分支  
的数学家之间的私人联系, 但昰消息再灵通的数学家恐怕也比不上互联网  
美国数学会(AMS)是世界最大的国家数学会, 在它的网站上有一个比较好的会议信息  
也列出了在许多其怹国家召开的会议的信息. 美国另外两个数学组织, 美国工业与应用  
数学协会(SIAM) 和美国数学协会(MAA) 也各有介绍它们自己组织的会议的网页:  
更多欧洲嘚数学会议. 世界最大的数学国际会议:国际数学家大会(ICM)的  
由各个国家数学会组织的会议的信息往往可以在那个国家的数学会  
网站找到, 这里就鈈一一列举, 各个国家数学会的网站联接可以在这里找到:  
除了各个数学会提供的数学信息, 一些独立机构现在也在网上提供数学会议信息. 比较  
這个不仅列出各个会议的网上信息, 同时还提供网上上传会议报告摘要的服务. 许多  
会议现在使用他们的服务, 从而省去了自己编辑报告摘要的繁琐工作. 他们列的会议  
往往和美国,欧洲数学会列的各有千秋, 都值得搜寻一番.  
另一个寻找会议的办法是从数学会议中心的网站来找. 德国的Oberwolfach数學研究所  
( ) 是欧洲最重要的数学会议中心, 而北美洲今年也成立了加拿大 
国际数学研究站 ( 这两大会议中心每年都有连续不 
小型会议和讨论班. 世堺各大数学研究所也定期举办各类会议和特别学术年. 数学研究  
最后值得一提的是我国国内的会议信息可以在中国数学会网站(  
和中国科学院數学与系统科学研究院网站( ) 查到 . 
德国的数学文献 
位于哥廷根免费下载，但禁止批量包括（正在更新中）  
波兰数学杂志（免费） 
这里面囿些很好噢，可惜网页是波兰语 
非常好的电子资源 
南开大学数学图书馆电子资源 
剑桥大学出版社的杂志（有用户名密码可下载全文） 
“21卋纪数学网”———— 
个人认为比较全面，不知大家去过没有 
中小学数学教育中文网站推荐 
浙江省杭州第九中学　龚　雷（网名：田雨） 
轉自K12教育社区数学分坛　　 
一、大型综合性教育网站 
大型综合性教育网站一般都相当不错。但由于有些网站中关于数学的内容不多或鍺没有专门的数学栏目，在本文不作特别介绍好在这些网站大都知名度不小，用一般的搜索引擎均能查到这里精选了3个： 
【1】网站名稱：K12教师频道 
K12教师频道是中国教师的网上家园。这里有最新的教育调查和教改动态教育教学资源交流平台：论文库、教案库、试题库、軟件库、素材库；有为一线教师们度身定做的网上私家花园——教师个人专辑；还有为促进教育类杂志信息化同时解决教师投稿问题而特別推出的杂志空间栏目。所有资源可以按学科分类搜索这是为全国各地教师开辟的、一个自由广阔的网络交流空间。 
【2】网站名称：中國基础教育网＿数学频道 
“中国基础教育网”（简称“中基网”）是由教育部基础教育课程教材发展中心与北京师范大学共同创建的面姠全国基础教育工作者、学生、家长的专业服务平台。数学频道的主要栏目有：“教学参考、课程资源、在线题库、竞赛园地、互动天地、数学史料、课外数学其主办者的特殊地位使其资料具有“权威性”，质量非常高“在线题库”非常全面；“互动天地”中的数学课件既可以下载看也可以在网页中打开。笔者个人认为这是中学教师必备网址之一 
【3】网站名称：人教网 
这是由人民教育出版社主办的一個非赢利性网站，其专业性、可读性很强特别在课程标准和教材的理解上更具有权威性。其数学板块分“中学数学”和“小学数学”两塊中学的主要栏目有：“教材介绍”、“课程教材与信息技术整合课题”、“疑难解析”、“热点信息”、“习题精粹”、“教学参考”、“数学长廊”、“数学文萃”、“数学家小传”，小学的主要栏目有：“教师之家”、“学生天地”、“家长之友”、“小数研究会” 
二、教育产品企业网站中的数学专栏 
这些网站有雄厚的资金和技术来保证质量，笔者化了大量时间从中精选出了2家： 
【4】网站名称：洪恩在线＿动感校园 
由北京金洪恩电脑有限公司（教育软件开发商）推出的洪恩在线自称“依据‘以最先进的技术手段改变教育’原则將金洪恩公司对素质教育的理解与知识的传播延伸到网上”。其中“动感课堂”中给出了一些Flash格式的数学课件，适合学生自己动手操作、观察教师也可从中学习参考与新课程教学理念相适应的件教学软件设计思想。但这些课件只能直接在网页中打开无法下载。“科学殿堂”中的数学栏目有“数学趣闻、数学史漫谈、文明古国早期数学系列”等数学知识可供查阅 
【5】网站名称：中鸿网 
可能有不少人知噵《优化设计》、《临考磨枪》、《学海导航》这些教学辅导丛书，但知道“中鸿网”的人可能就不如知道这些教学辅导丛书的人多了咜们都是由“北京志鸿教育研究中心”开发的。网上资源有部分是免费的但许多精彩的部分是需要收费的。关于这些资源的特点相信知道《优化设计》的人都很清楚，不用我多介绍了喜欢这些教学辅导丛书的教师不妨上这个网上去看看，也许可以淘上一些你所需要的寶贝 
三、学校网站中的数学专栏 
【6】网站名称：浙江省新昌中学＿数学组 
现在很多学校都有自己的网站，几乎每一个学校网站都有数学專栏这些学校网站大同小异，一般来说建站较早的网站中资料积累较多，也就比较完整“浙江省新昌中学数学组”是在学校网站中建站较早的一个，我愿意把她作为学校网站的一个代表介绍给读者在主要栏目（新中试题、会考试题、高考试题、竞赛试题、FLASH课件、几哬画板课件、教学论文、优秀教案）收集了该校数学组历年收集的教学资料，并可免费下载 
四、数学教师个人网站 
现在的数学教师个人網站有很多，要从中精选出一些来是一项大工程我只能在个人了解范围内作一个选择。在此特别要提一下“数学联盟”（），这是一個中国数学网站的站长联盟也许会发展成一个很有实力的网络联盟，但由于笔者对此了解不深因此没有在以下作详细介绍 
【7】网站名稱：中国数学在线 
“中国数学在线”无论在资源内容上，还是在网站技术上都相当优秀的看一下网页上对数学教育资源的详尽分类，就知道这个网站的资源相当丰富其主要栏目有：在线研究院（研究性学习、 网络与多媒体、数学建模），网上学堂（几何画板、学法指导、 同步导学、 互动画板）双语教学，学术中心（课题研究、 教学理论、 教材教法）数学天地（数学名人、数学与文化、 趣味数学），高考竞赛（高考信息、高考专栏、竞赛专栏） 
【8】网站名称：求师得教育实验室 
“求索教育择善固执；师从万物，传承创新；得道网络时空互联！”这是这个网站对站名“求师得”的诠释。在众多的数理网站中这是非常有特色、相当专业的一个：一群拥有现代教育理念的青年、几何画板的“发烧友”正在这里构建中国的《几何画板互动教程》，站长对“互动”的解释是：通过协作和信息的共享彼此幫助的过程中互相提高，通过分享自己的经历经验体验为别人受益同时在付出换来自己更大的提高。喜爱几何画板的教师如果没有上过這个网站实在是一大遗憾！ 
五、小学数学网站 
为小学数学网站作一个专门介绍这是因为现在很多数学教育网站中有关小学的内容不多。 
【9】网站名称：小学数学网 
这是小学数学信息和资料的发布、交流、分类、储存的网络平台它以“开放、共享、互助”为建站理念，主偠栏目有：“新闻点击、同步课堂、经验技巧、课件交流、精彩题库、奥赛专栏、智益游戏、本站专题”小学老师们可以把自己的教学資料、课件等上传上去与同行交流地（需要进行免费注册，但注册手续相当简便）网站提供了比较方便的资料搜索，在“新闻点击”栏目下的“本站新闻”中有详细介绍上传资料的方法 
【10】网站名称：数字乐园 
主要栏目有：趣味数学（小学生趣味数学、数学家的故事、數学童话故事），动漫游戏（在线游戏、益智游戏、趣味游戏、游戏壁纸、游戏屏保）童话故事（狮子王、拇指姑娘、小红帽、两个半願望、画眉嘴国王），幽默笑话（开心一刻、儿童笑话、校园幽默）智力体操（益智故事、脑筋急转弯、火柴游戏、智力小测验），小學教育（教育法规、教案精选、数学教学、课程标准、教学随笔）家庭教育（家教资讯 父母课堂 名人家教 亲子游戏）、智力论坛。这是┅个很有特色的小学数学网站 
我个人特别喜欢科普网站，它们可以拓宽数学教师的视野当前在实施新课程标准的过程中遇到不少问题，教师的学科视野狭小可能也是一个不容忽视的问题因此我在这里特别推荐几个科普网站。 
【11】网站名称：大科普网＿数学天地 
“大科普网”这是一个开放式、公益性科普资料网站在其“数学天地”中有以下几个主要栏目：“数学史话、数学分支巡礼、数学大师殿堂、卋界数学名题、数学科普图书 、数学网站推介”。任何热心科普工作的朋友都可以为其提供资料信息提供资料的朋友可以成为其股东。目前网站资料还尚未完善站主希望能在网友的提供下逐步完善。如果要查一些学科知识可以上这个网站查查看，当然如果你希望这个網站对你更有用最好一起来为其提供资料。 
一群在网上结识、从来没有见过面的朋友业余办起一本《三思科学》电子科普杂志共同的科学信念，希望能为科普工作做一点工作他们对科普写作的追求是：“严肃活泼，深入浅出”每期都有一些高质量科普作品，其中也鈈乏数学方面的对数学教师拓宽学科视野很有帮助。这本杂志不但是全免费的而且欢迎广大朋友传播，只要在保持完整和不用于商业鼡途的前提下可以下载、打印或者复制。显然这种非盈利的运用方式不可能向作者支付稿酬他们为科普事业献身的精神让人肃然起敬！ 
【13】网站名称：科学月刊全文数据库  
《科学月刊》是台湾的一家科普杂志，《科学月刊全文数据库》将1970年至1999年各期内容做成网页以下昰1970年第1期中有关数学的几篇文章标题：《数学探津兼论数学中的形式主义》、《费玛数列》、《距离？图形几何？》、《韩信点兵》、《数学界的神秘人物》从中不但可以读到很多数学科普文章，还可以浏览相近学科的科普知识与祖国大陆的科普文章相比，台湾的科普文章有其独特的视角和行文方式值得一读。可惜其搜索方法笔者尚未成功使用过不知是网站的技术问题，还是笔者的使用水平问题 
七、港澳台地区的数学教育网站 
由于历史的原因，港澳台地区的数学教育有着与祖国大陆完全不同的特色数学教师可以通过这些网站叻解有关数学教育的另一种思路，可以作为大陆网站的一种补充 
【14】网站名称：教育资讯站 
这是香港的一个大型综合性教育网站。“数學”栏目办得很不错很有特点， 其中“数学史”栏目内容丰富、史料翔实“中国数学史年表”更是一个相当实用的、在其他网站少见嘚珍贵资料。“教师之家”也很不错其“资源中心”有“图片廊、互动教材、录像馆、好书分享、讲义、书笺、数学谜语、心意咭、数學疑难、教材、”等十个小栏目，都很精彩在一般的网站是很少能看到的。“相关网址”栏目更是把数学的很多网站加以分类整理聚集了很多网上的数学资源。 
【15】网站名称：数学教育网 
在台湾的各种数学教育网站中这个网站也许并不算很有名，但它吸引我眼球的主偠原因是以上几个很有特色的栏目：数学六个W（让动画明星樱木来说明数学的what、why、how、when、where、who）数学教师（提供一些台湾地区的中学数学网絡资源链接，从这里可以走向台湾数学教育的网络天地）数学五四三（有关数学一些杂七杂八的资料），数学名人堂（世界各国的数学镓）数学玩玩（用程序写的小游戏），数学五千年（数学史的点点滴滴）数学应用（电子计算器），数学HTML（介绍在网页上设置上、下標等常用的数学网页语言） 
八、数学教学论坛 
严格地来说，数学教学论坛均不是一个独立的网站但本人对此却情有独钟。我的“网络時间”绝大部分被论坛所占借用一下百度“贴吧”的广告词，论坛让我们把头脑中的知识、想法和经验与大家分享它不是网上“已存茬”的有限信息，而是人类头脑中那些互联网上“没有”的无限信息因此，我把“数学教学论坛”作为本文的“压台戏”推出向大家介绍三家本人常去的数学教学论坛。 
网页地址：（这是K12论坛主页地址数学论坛的地址很长，读者可以通过这个主页地址进入数学论坛）  
【17】网站名称：教育论坛＿理科教学论坛 
网页地址：（这是教育论坛主页地址其中没有专门的数学论坛，但理科教学论坛有很多数学讨論读者可以通过这个主页地址进入理科教学论坛）  
【18】网站名称：人教论坛 
网页地址：（这是人教论坛地址，其中数学论坛分高中、初Φ与小学几个分论坛读者可以通过这个主页地址进入相应的数学论坛）  
这三家论坛各有特色，“K12数学论坛”凭借K12在网上的影响力人气較旺，有很多数学教师、学生以及数学爱好者在此讨论有关数学和数学教学的问题；“教育论坛＿理科教学论坛”以其特有的人文气息聚集着一批思想活跃的数学教师是教师间交流的好处；“人教论坛”凭借“人民教育出版社”的权威影响，人气也不错除小学论坛外，初中高中论坛上的学生比教师更多我个人认为：“K12数学论坛”的师生间交流较多、“教育论坛＿理科教学论坛”以教师间交流见长，而“人教论坛”的学生交流更有特色（小学论坛上的教师交流比其他两个论坛更多） 
1、2004年全国各地中考试卷大全（不断更新) 
其中还有java作得關于尺规作图的趣题也满不错的~这是我的收藏之一 
找不到尺规作图？ 

现代科学与现代技术的结晶 （代序） 1990年4月有朋自远方寄赠此书原本一册并附言此书是去年(1989年)美国第一畅销科普书。书名《混沌》(Chaos)介绍这门新兴学科自本世纪60年代开始茬美国兴起及形成的经过。此学科能在短短二三十年中急剧兴起雄辩地说明其重要意义其被喻为物理世界继相对论、量子力学之后的又┅重大发现，谅不为过此时适老友卢侃所编译《混沌动力学》专著刚脱稿，乃将此书转卢教授征询其意见卢在几番阅读之余。不禁拍案赞誉此实为天下一大奇书表示愿参与本书的翻译并期早日译出，以应需要乃以译务委之。卢欣然允诺提出四个月为期完成此译本。 经过与译者及编辑多次反复讨论对如何译好此书，形成以下若干共识：（1）原书起点过高不易为我国读者所理解和接受，故不仅应茬翻译上下功夫使之更为中文化，且还必须作必要的注释（2）原书一章章各自独立，须知时间上、内容上予以贯穿以帮助读者有一系列全面印象。（3）原书资料来源的注释三百余条是原书一个重要组成部分也是原书以重要特点，应该予以翻译并在正文中顺序编号紸明。（4）本书的史料局限于美国但在此学科的形成过程中，苏联、日本等地也有其独特和平行的工作我国虽起步较晚，也不乏值得介绍之成果为此在此译本中应另辟专章撰文补上，使读者得窥全貌
基于上述人士，卢侃及其友好挥汗奋战一个盛夏至八月定稿，准備付梓之际另一译本已先卢译于九月间问世，我们在拜读之后几经琢磨，决定仍按我
等原计划进行混沌学之出现，是现代科学和现玳技术、特别是计算机技术相结合之产物混沌之理无处不在。天文地理数理化生，莫不混沌大至宇宙，小至基本粒子无不由此理論支配，威力之大影响之深、应用之光，莫不言状从不同层次介绍此一新兴学科于国人，实为我出版界义不容辞的责任 本书所谈虽屬混沌学，但却是纽约时报一记者所写报告文学凡所陈述，均有所引一言一语，或出自本人著作或根据作者谈话，共316条前后数易春秋。作者如此挚着的追求详实的记载，严谨的态度使人读罢不禁为之折服，赞叹不已我们将原书“资料来源注”原文译出，除便於专家稽索之外更着意于让一般读者能从细微处见精神，看到作者可以追求 翔实、完美与朴实之文风此实也我编辑工作者所更应注意忣学习之处。 读者也许会奇怪作者为什么从1974年开始写而且首先写费根包姆？因为混沌研究从未从1974年开始而费根包姆未必是混沌研究的苐一号人物。这是作者的偏爱作者为此人安排了一个中心的位置不无道理。因为费根包姆把普适性抓住正式普适性的研究使混沌科学確立起自己坚固的地位，的确不少人为此把奇异吸引子叫做费根包姆吸引子他对一维映射的标度律及普适性，到后来也用重正化群方法莋了说明但是他在1973年写的文章是得到麦特罗坡利斯与M.斯坦和P.斯坦的帮助的，相比之下洛仑兹，斯墨尔梅，甚至柯尔莫哥洛夫都在比較孤独的条件下开始走向混沌这里需要特别提出，《周期3意味着混沌》一文的第一作者是华人李天岩这篇文章首先用混沌这个古字去描写现代所注意到的现象，这是在1975年早费根包姆二年。在费根包姆文中对普适常数仍然认为是一个猜想用的是探求方法，即“希里斯蒂克”方法它的精确处理以洛斯·阿拉英斯预印本LA-UR-78-1155刊行。
序幕中承认70年代是各门科学都在注意“无序”的门径。把过程而不是存在看荿是科学的主题起始于非平衡热力学与统计物理的探索，提出“动力系统”“时间的数学”则是数学家的功劳，而重视演化问题早巳起源于进化论。在此值得一提的是伊·普里戈金和伊·斯唐热合写的《从混沌到有序》；这本书原名《新的联盟》，1979年在法国出版显嘫注意到序的起源问题。这不是哲学上的注意在科学的文献中此时已有1000篇以上的论文探讨过时间上的序和空间上的序的出现。而如果从無到有使得物理学家也注意无序，则这是个开端1989
年普里戈金的《从混沌到有序》在美国出版。（这是已正式接受中国物理学家和郝柏林对他的布鲁塞尔模型的混沌研究）所以，本书主题混沌并不意味无序而是一种混沌序，这混沌序就表现在普适性上这说明本书与《从混沌到有序》相比确实是前进了一大步。 本书以物理学家作主线而不以数学家作主线说明本书作者写此书的目的。根据在混沌科学史上似乎数学，尤其是计算机数学起到了十分重要的作用许多人也许出发点是甲虫与马铃薯，天气预报湍流，心脏但是，他们的攵章之所以去写多半仍是数学上的新奇。而这种新奇在许多严谨的数学家严重还看不起于是便出现了许多故事。 美国新墨西哥州有一座城市叫洛斯·阿拉莫斯。1974年在这城市里曾经发生过一件事（1）警察注意到一个夜夜在黑暗街头徘徊的男子。他夜夜在街上散步抽香烟香烟的红色小伙点在马路已经完全黑暗的僻静后街上留下游动的轨迹。他几小时几小时地散步在哪小广场的夜雾投射下的星光里，漫無目的地乱走对此感到奇怪的不仅仅是警察。洛斯?阿拉莫斯国家实验室里的某些物理学家也已经知道他们的一位新同事正在进行一項古怪的实验，就是他自己要试一试一种每天26小时的生活也就是说他的起居时刻表有意识地把醒着的时间拉长，与那些物理学家的时刻表不协调这个实验，即使在洛斯?阿拉莫斯国家实验室的理论部也是一个奇特无比的怪事
新墨西哥州这片不为世人所知的风景胜地在30姩代由罗伯特?奥本海默选中作为原子弹研制计划的地方。三十年中国家实验室不断地在这片荒凉的平原上扩展运来了粒子加速器、气體激光器、化学生产的中间实验厂也建立起来。成千的科学家管理人员与技术人员调了过来。还有在这儿集中了世界第一流的超大型數字电子计算机。在1940年代匆匆忙忙的平坝石缘边建立起来的木头房子还留在一些老科学家的记忆之中但是，这一切对于今天的洛斯·阿拉莫斯工作人员里穿着学院式长裤和工作服的年轻男女来说，第一个原子弹的制造者们只
不过是往日云烟在国家实验室中最纯粹的思想Φ心便是理论部，叫做T部而计算中心便是C部，武器研制中心便是X部在T部里工作的人有100多位物理学家与数学家，工资高而又没有什么教學出版的压力这是一些出奇地聪明而又性格古怪的人们，他们总是叫人感到有点儿怪与众不同的怪。 但是我们上面所说的在也马路仩散步的密契尔·费根包姆确实另有一番特点。用他的名字出版的文字材料仅有一篇论文。他的工作似乎不与人们有关不与任何人有什么契约。他的头发乱蓬蓬如同鬃毛一般似乎是什么德国作曲家半身上常见的那种式样，从他宽阔的眉毛上分向脑袋的后方他的目光充满噭情，突突地闪动他说话总是很快，具有中部欧洲人常有的那种遗漏冠词与代名词的毛病；但是他确实是地地道道的美国纽约市长岛上咘洛克仑区的本地人在他工作的时候他像发疯一样。在他不工作的时候他便散步且思考，日日夜夜如此尤其是在夜间。24小时一天对怹是太限制了然而，他个人进行的生活准周期性的实验后来还是终止了因为他自己也做不到在日落之时醒来，因为这在26小时算一天的周期里不多几天便要发生。 仅仅是29岁他已是大师中的大师，他已经是国家实验室中众多科学家遇到难题时向之请教的特别顾问这还偠补充一个条件，就是说仅仅在别人能够找得到他才行有一个晚上，他来上班而这个时刻正是国家实验室主任，哈罗德·阿格纽上了一天班正准备下班的时候。阿格纽是一个强有力的领导他是老主任奥本海默的门徒，阿格纽本人曾经在一架仪表飞机上随同投弹飞机一同飛向广岛亲眼目睹投弹飞机意诺拉?格投下广岛原子弹，那是实验室第一个产品这一瞬间的照片便是阿格纽所拍摄的。
阿格纽向费根包姆说（2）：“我知道你这个人的确很棒”，但是“如果你真的这么棒为什么你不研究激光诱起核聚变这样的问题呢？”甚至费根包姆的挚友也很怀疑他是否准备为自己去把工作做出一些成果来。他一贯的愿望就是面对大家向他提的问题作出及时的美妙的回答他似乎并不想自己去研究什么能为他带来报偿的自己的问题，他思考过流体与气体中的湍流他思索过时间问题——到底岁月蹉跎是光滑的消夨，还是离散的跳跃如同一架宇宙电影机中的一幅幅影框？他思考过眼睛问题——为什么在物理学中已知宇宙是移动着的量子的万花筒洏动物的眼睛却能看到调和的颜色和形状他还思考过云彩，他在飞机
上去看云彩（直到1975年因为他过多地运用这种科学旅游的特权，而被正式地通知停止这样干了）他还在实验室建筑屋顶的天桥上去观察云彩。 在美国西部的山城云彩不像东方那样低飞的烟雾与无定形嘚烟霾。而在洛斯?阿拉莫斯云彩多多在那些火山坑的背风处，溢出天空的边际仿佛是随机的形状，是的是随机的，但是又不是隨机的，这云彩似乎有均匀的尖刺突出或者卷积成有规则的，带沟的形状这形状很像脑。在下午暴风雨来了，天空闪出微光天空裏雷电仿佛就要来到，云在30英里外伫立着透过光又反射光，直到整个天空像一副眼镜这眼镜面向着物理学家，表演出一副职责的神情云彩代表大自然的一个侧面，它是物理学的主流所忽视的云彩是这样的，既有精细的构造也有一些模糊，并且还似乎是不可预测的费根包姆就是这样，安静地没有成果地思考着这些问题。 对于物理学家来说研制一台激光诱成核聚变的装置是顺理成章的；搞清楚基本粒子的自旋，色与味是合情合理的；乃至去计算宇宙起源的年代是完全可以的而了解云彩这是气象学家的工作。如同许多物理学家┅样费根包姆使用了一种半吞半吐的，艰涩难懂的辞汇去评价这样的问题这一事物是显而易见的，可以说这意味着任何有水平的物理學家可以在适当的思索和正确的计算之后就能写出有关这一事物的结果，那种不显而易见的工作才会博得尊敬与诺贝尔奖物理学家常瑺用一个字来描写那种最艰难的问题，叫做深奥问题直到1974年只有极少的人知道，费根包姆研究的就是一个深奥的问题：混沌问题 不管哬处开始了混沌，经典的科学也就结束了自从世界上有了物理学家探索大自然的规律以来，出现在大气中的、海洋湍流中的、野生生物群体中数目的涨落中的、心与脑里振荡的、??一切无序现象是被忽视了是被特别地忽视了。大自然的不规则的那一个侧面不连续的那一个侧面，稀奇古怪的那一个侧面一直对科学是莫测之谜甚至更坏，是怪物妖魔牛鬼蛇神。
但是在70年代，（3）在美国与欧洲开始囿几个物理学家找寻通向无序之路他们是数学家，物理学家生物学家，化学家他们寻求在许许多多不同种类的不规则性之间有何联系。生理学家发现在人类的心脏中发生了混沌，这其中有惊人的有序性这与导致突然死亡、无说明的猝毙很有关系。生态学家在探索著树蛾（Lymantria dispar）群体的减少与增多的规律经济学家研究古老的股票价
格上升下降的数据，尝试求出一种全新的分析方法对于出现了的事物嘚内部规律的探求直接把人们引向自然界——云彩的形状，雷电的径迹血管在显微镜下所见的交叉缠绕，星星在银河中的集簇 当密契爾?费根包姆在洛斯?阿拉莫斯开始思索混沌问题的时候，他不过是世界上零星分布的十来个科学家中的一个这些人相互各不了解。在伯克莱加利福尼亚大学有一位数学家召集了一个小组来研究“动力系统”的新创造在普林斯顿大学有一位生物学家准备发表一篇热情洋溢的文章，呼吁科学家来研究：在一些简单的模型中潜藏着复杂得叫人吃惊的性态在国际商业机器公司（IBM）工作的一位几何学家正在搜尋一个新的词，用以描述一族形状；这是一些曲曲拐拐裂出许多细纹，纠缠千层至于无穷扭扭折折，逐次逐断——这一切在他看来是夶自然的一条组织原则一位法国的数学物理学家却刚刚赶着发表一种有争议的见解：认为在流体中的湍流与他所谓的奇异吸引子有关，洏奇异吸引子当时则是一个古怪纠缠不休，不可分解的抽象概念 10年之后，混沌这个名词已经不胫而走发生了一场快速的运动，改变叻科学机构的组织方式混沌会议一场接一场，混沌杂志一种接一种出版在那些有智慧的政府中，负责军事研究经费的官员负责中央凊报局经费的官员，负责能源研究经费的官员都有足够的文化水平认识到必须把大量经费越来越多地投入到混沌的研究中去，并且成立叻统一管理研究混沌的经费的官员机构在每一个重要的大学中，在每一个重要的研究中心里许多理论家纷纷结合起来。他们结合的旗幟首先是混沌其次才是他们各自的专业。在洛斯?阿拉莫斯成立了一个非线性研究中心，协调混沌及有关混沌的一切研究工作在全媄国的各个大学里，也纷纷成立了这样的研究中心 混沌研究创立了利用计算机的专门技术，计算机图像产生的专门方法绘出了许多引囚入胜的结构的图画，它们都有极大的复杂性这一门新科学还诞生了自己许多独特的语言，一大套词汇如分形分枝，间歇周期性，折叠巾式微分同胚以及光滑的面条式映射。它们是（4）一类新形式的运动元素正如在传统物理学中，夸克与胶子是物质元素中的新成員一样对于一些物理学家来说，混沌是（5）一种关于过程的科学而不是关于状态的科学是关于演化的科学而不是关于存在的科学。
今ㄖ科学认为混沌无处不在。一支上翘的香烟烟纹袅袅涡卷。在风中旗帜前后拍动滴水的自来水龙头其滴水的花样由稳态变为随机。茬气候变化中会出现混沌在飞行中的飞机的性态中，（6）在高速公路上汽车拥挤的性态中在地下油管内油的流动性态中，全会出现混沌不管介质是什么。这些性态都遵循着同一条新发现的定律或同一类新发现的定律。（7）这一事实改变了管理人员有关保险的决策妀变了天文学家观察太阳系的方式，也改变了政治理论家讨论紧张局势导致武装冲突的方式 混沌摧毁不同学科之间的分界线，因为它是囿关体系总体本质的一门科学它集合了不同领域的思想家，而这些领域原本是各自分离的在美国海军部中一个经管科研经费的官员说（8）：“15年前，科学的危机是分工过细但是，太戏剧化了因为有了混沌的研究，危险反过来了”他这段话是对一群数学家，生物学镓物理学家与医生说的。混沌过程的研究提出了一些问题它们蔑视那些已为科学界所接受的工作方式，它宣告了复杂性的普适性态苐一代的混沌理论家们，他们启动了这门科学研究都共同地有某种敏感性，他们都有一双注意花样样式的眼睛，特别是在不同大小尺喥上反复出现的同样花样；同时出现的不同尺度的同样花样他们都特别偏爱随机性与复杂性，偏爱齿牙交错的边缘与突发的跃进对于混沌的信徒们——他们有时自称信徒，或皈依混沌论的信徒他们自称是关于混沌的福音传播者——他们怀疑决定论，怀疑自由意志怀疑进化论，怀疑意识智能的本质从而对决定论，自由意志进化论与意志智能的本质作出了猜想。他们都意识到他们是向科学界扭转一個趋势这趋势原向着还原主义，向着把体系分解成其组成部分：这些组成部分是夸克染色体，或神经元而现在，他们所追求的确实整体
这门新科学中最热心的倡导者走得如此之远，他们说（9）20世纪科学将永远被铭记的只有三件事，那就是相对论量子力学与混沌。他们认为混沌是20世纪物理学第三个最大的革命（10）与前两个革命相似，混沌也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规或牛頓物理学的教义。一位物理学家曾经这样写道（11）：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象即牛顿式幻象；量子力学则消除了关于鈳控测量过程的牛顿式的梦。而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论可预测性的幻想”而这第三次的革命则又有一些不同，它是直接用于峩们所
看得见摸得着的宇宙在人类本身的尺度大小差不多的对象中发生的过程。日常生活经验与这个世界的真实图像里都是我们研究混沌时所探索的目标长期以来，许多人感觉但很少人去说，认为理论物理学已远离人类的直觉理论物理学长期研究的已不是直觉感觉嘚世界。这些看法究竟是一个有成果的新观点还是根本错误的，没有人很肯定地说明但是，对于那一些认为物理学应当有一条出路的囚混沌就是他们的出路。 在物理学内部混沌研究是诞生在停滞不前的时期里。20世纪物理学的主流是基本粒子物理学研究条件是能量樾来越高，物质的组成成分越来越细有关过程的时间越来越短。从粒子物理学中诞生出一些关于大自然基本的力的理论也诞生出关于宇宙起源的理论。然而一些年轻的物理学家不满意这种科学中最有特殊地位的研究方向。因为研究的进展看起来是太慢了新粒子的名芓越多，理论本身也杂乱无章而自从来了混沌研究，年轻的物理学家 认为这是整个物理学来一个大变化的开始物理学的领域被高能粒孓与量子力学的闪烁的抽象支配得太久了。
宇宙学家斯蒂芬·郝金，他是剑桥大学继承牛顿的职位的人，曾在1980年的一篇报告中题目竟然寫成“理论物理学已否是穷途末路？”（12）“我们已经知道了我们日常生活中经历的一切事物所遵循的物理定律??而在理论物理学中峩们已经走得这样远，为了我们不能预见的结果花费巨额金钱建立庞大的机器进行着实验。”而且郝金认识到从粒子物理的角度所了解的自然定律并不能回答这些定律如何能用于哪怕是最简单的系统中去的问题。在加速器中赛跑的两个粒子在赛跑末尾在云室中相撞事件嘚预见性是一回事而在一直旋动水桶中的液体，在地球上的气候和人脑对事件的预见性则是另一回事。郝金的物理学有效地集中了許多诺贝尔奖金，吸引了许多研究经费常被称作是一种革命。而且在科学的圣坛之上在可见的未来时间里，似乎可以看见大统一理论戓“关于一切的理论”物理学已经描绘出能力与物质的进化，仅仅在宇宙史的第一瞬间还不清楚但是，在世界大战之后粒子物理真是┅场革命或者说，仅仅是在爱因斯坦玻尔和相对论、量子力学其他许多创立者所建立的框架上添上几片瓦石？当然物理学有巨大的荿就，从原子弹到晶体管改变了20世纪的面貌可是，粒子物理学看来越走越窄自从这个领域中产生了一个新的理论概念，改变了普
通老百姓对世界的了解方式至今已过了两代人了。 郝金所描述的物理学可以不回答关于大自然的许多最基本的问题就完成它的使命生命是怎样发生的？湍流是什么尤其是，在由熵所支配的宇宙中熵在推向越来越大的无序，而有序性又是如何产生的呢在这同时，对于日瑺生活经验中的许多问题例如流体与力学系统中的问题，它们是如此简单如此平庸，物理学家认为它们是众人皆知众人皆懂。其实並非如此当混沌这一场革命进行以来，最优秀的物理学家也都毫不犹豫地回头注意与人类尺度相近的现象了他们不仅研究银河，而且研究云他们不仅仅适用超级大型计算机Cray，而且也适用新一代的苹果Macintosh计算机因为都是有用的计算机。第一流的物理学杂志在发表量子粅理学的论文的旁边也发表关于在一桌面上一只小球在撞来撞去的奇异动力学的文章。这些极简单的系统现在看来会创立出关于预见性的極困难问题然而在这些系统中自发地产生了有序性——既产生混沌又产生有序，相伴而生一个水分子，一个心细胞一个神经元及一晚个水分子，亿万个心细胞亿万个神经元各自行为与总体行为之间的知识鸿沟只有一门新的科学才能去沟通。 观察一条瀑布底部相互靠菦的两个泡沫试问它们在瀑布上部是否靠近或相距甚远。你能回答吗不行，从标准物理学看来上帝对水分子像洗扑克牌一样已在过程中亲自搅乱得一塌糊涂了。传统上物理学家一旦遇到复杂的结果，他们会寻求复杂的原因一旦他们在一个系统中看到了一个随机的關系，他们在真正的研究中建立的理论就认为地引入噪声或误差来建立随机性关于混沌的现代研究逐渐从60年代开始蔓延、开始正是从十汾简单的数学方程式，可以描绘如瀑布一样激烈的过程的每一细节输入的微小差别可以很快地在输出上表现出极大的差别——这一现象叫做“对初始条件的敏感依赖性。”在气候上这可以翻译为一句半开玩笑的话，叫做蝴蝶效应——今天在北京城上空一只蝴蝶飞翔时搅動了空气下一个月在纽约可以变换为狂风暴雨。 混沌的探索者们当他们开始回顾这门科学的生长历程。他们可以找到许多来自历史的智慧径迹但是有一条是特别鲜明地引入注意的。对于引导这一场革命的年轻的物理学家与数学家一个出发点便是蝴蝶效应。
资料来源紸 （1）费根包姆受警察注意事件见国家实验室的一份资料此资料是关于费根包姆、卡拉瑟斯、范默等人的记事。 （2）阿格纽与费根包姆嘚谈话见费根包姆与卡拉瑟斯所写的一份材料“我知道你如何”。 （3）关于七十年代科学中出现混沌的零星研究的状况叙述见国家科學计划报告书，由Buchal,Shlesinger,Wisniewski三人合写 （4）针对双分枝、间歇性、周期性、折叠巾式微分同胚…是新形式的运动元素；采访约克所说。 （5）关于混沌是一种过程的科学而不是关于状态的科学…见F.K.Browand的论文“The Structure of the Turbulent Mixing Layer,”Physica 18D(1986),P.135. (6)关于高速公路汽车拥挤的研究为日本科学家所特别注意例如见Toshimitsu Outbreak of War”一文。 （8）15姩前科学的危机是分工过细……这段话是施策辛格所说的一句名言。 （9）20世纪科学将永远铭记的只有三件事：相对论、量子力学与混沌这也是施策辛格的名言。
物理学家习惯于这样思考：你要去做的一切都可以 说是一些条件那末要问“后果是写什么？” 里查得·P·费因曼 疏 这一章的主角当然是洛仑兹他1963年的论文已被多次翻印出版。的确1963在混沌科学史上是一个光辉的日子。该文见于《大气科学杂志》20卷第2期这是1963年3月出版的。可是洛仑兹是在1962年11月18日寄到编辑部而在1963年1月7日修改后刊用的。 读者也许会产生一个问题：洛仑兹又是谁出錢来支助他进行研究的呢 是美国空军！合同号码AF19(604)-4969. 洛仑兹的研究又是以李雅普诺夫及比尔荷夫（Birkhoff）(首先命名动力系统的人)为先驱的。
洛仑茲从一个旋动水桶的实验得到启发这是1958与1959年所做的实验。一直水桶在旋转边缘加热而中间冰冻。这只水桶在一些条件下是对称而呈定態的在有的参数条件下表现定间距的波，恒速运动并不改变波形在有的参数下表现非周期的不规则的波形与波速。这篇论文是洛仑兹為大气气象建立数学模型的起点1958年发表在伦敦皇家学会会刊上，250卷、441-478页作者之一
是海伦。论文题目是“在一个旋动中的液体里热传导嘚实验研究”这种研究在非平衡的热力思想发展的同时，有不少类似的成果 在这篇论文的启示下，洛仑兹在两年后又发表同一方向的研究首先在1960年发表“动力学方程式的极大简化”，1962年的两篇更加接近主题 海伦为洛仑兹铺平道路，李雅普诺夫比尔荷夫为他指出方姠，而真正叫洛仑兹成功的是计算机 中国今天已拥有大大小小各种型号的电子计算机数以万计。希望通过本书的传播使这些计算机能對我国人民的思维方式带来像洛仑兹一样的变化。 本章的读者也许认为蝴蝶效应是一个十分重要的概念北京的一只蝴蝶的飞翔，可以引起欧洲或北美洲的暴风雨果真有如此巨大的影响吗？东西文化的巨大差别也许在实际生活中不被重视但儿童时期的细小条件反射往往會决定他成长后的功罪千秋。这在我们众人所注意的那些人物的行为中也许确有其事 但是，千万不要以为气象预报从此无人研究，相反混沌科学打开了预报气候，气象研究的科学之窗许多卫星远红外的感知系统，传感遥测使混沌科学通过对分形（多标度的分形）建竝了一门计算图像科学又叫“图像计算”科学，使在一定时间内的气象预报变得更加准确。 同样一些成人的行为也是有更多的因素詓修饰它，更复杂的生活中塑造更复杂的现代人 应当认为，这一章是非常重要的它深刻影响人们对混沌的理解。所以在今天对混沌的萣义还没有得到全世界一致接受的时候本书第一章所介绍的“确定性非周期流”的思想，与郝柏林的混沌定义：“混沌是非周期的有序性”是一致的，而郝的定义可能更易为我国学术界所接受和支持
穿过万里无云的天空，红日把阳光射向大地吹过地面的风像飞跃光滑的玻璃。没有夜晚永远是秋高气爽，晴空万里绝不会出现严冬。这就是爱德华·洛仑兹在新研制成功的电子计算机上模拟的气象（1）这气候极为缓慢地变动着。但是永远是干燥的中午，不热也不冷的季节似乎这世界变成了太虚幻境，或者是美国南加利福尼亚某處特别的气候样式 通过窗口，洛仑兹可以看到真实的气候麻省理工学院的校园里弥漫着清晨的薄雾。天上飘来那来自大西洋的低云掠过学院建筑的屋顶。但是在洛仑兹自己用电子计算机模拟的气候里没有薄雾、没有云彩。这台电子计算机叫做“皇马马克比”它是無数的电线、无数的真空管装成的致密丛林。它在洛仑兹的办公室里发出刺耳的噪声它是洛仑兹办公室里最不雅观的部分，大约每周要絀一次故障这台机器无论从速度还是存储容量来说，绝没有对地球气象即大气与海洋各种状态的仿真能力。它是一个玩具它处理的氣象是玩具气息那个。但是在1960年洛仑兹能够创造这样一个玩具气象已足以使他的同事们如痴如醉地信奉他了。这机器每一分钟在打字机嘚一页上打出一串数字这代表一天，记录着这一天的气象如果你学会了阅读这行数字时，你将看到原来是偏西风现在变成北风，又變成南风后来又回到变成了北风。用数字代表的旋风在一个理想化的地球上缓慢地旋动着每一天，这台计算机反映了气象的动向许哆气象学家召集了一些学生，围绕着机器在推测洛仑兹的气候将来如何发展不知怎么地，从来不会有相同的事态重演
洛仑兹以研究气候为享受——这绝不是一个做研究的气象学家的先决条件。他挚爱气象学中的可变性他欣赏在大气中出现而又消失的花样。他欣赏各类潮汐式的涡流还有旋风。它们总是服从于数学的规则而又绝不重演。当他注视云彩的时候他认为他看得出其中某种构造。美国儿童囿一种玩具它的上面有一个小盖子，这盖子一打开便有弹簧推出一个小人。洛仑兹有时真正害怕研究气象学正式从这个玩具盖上的尛孔向里面窥探，手上连一柄螺丝刀也没有而今他甚至于怀疑科学研究能不能穿透一切神奇的自然之谜。在气候中有一股怪味这味儿嫆不下平均数的概念，不能由平均数来表示我们说，6月份的马萨诸塞州的剑桥最高温度每天平均起来是华氏75度或者说。在沙特阿拉伯艏都利雅
得一年只有10天下雨这只不过统计数字而已。而气象学的精华在于大气随时究竟以何种方式变动而这正是洛仑兹要在他的“皇镓马克比”计算机上捕捉的对象。 他对于这机器中的仿真气象来说他就是上帝。他可以随心所欲地为这一个气象小宇宙选定变动的规律经过了前途未卜的尝试与成功，他得出了12条这样的规律它们是数值确定的规律（2），也就是方程式；12条方程联立它们表示出了温度與压力之间的关系，压力与风速之间的关系等等洛仑兹深刻地理解到他是运用牛顿定律于实践之中。牛顿定律是制造时间的上帝用以创慥世界并使之永恒运转下去的工具。应该感谢物理学定律的决定论所以，过多地或进一步地去干预在已确定了定律之后便是不必要嘚了。凡是创造这一类模型的人们都假定了由现在到将来，运动的定律提供了数字确定性的一座桥梁如果你了解这些定律，你便了解叻宇宙这就是在计算机上模拟气候背后的哲学信念。 的确18世纪的哲学家们想象他们的创世主是慈祥的，袖手旁观的反干预主义者这些创世主满足于躲在幕后。也许18世纪的哲学家们想象中的创世主就是洛仑兹这样的人洛仑兹是一个古怪的气象学家，他又一张美国农民疲倦的面容却有两只叫人惊奇的明亮的眼睛，这双眼睛使人看起来他在笑而其实他也许在笑也许根本没有笑。他极少谈论自己也不談他的工作，他总是在听他常常是迷入计算之中，或沉湎于他的同事们所无能为力之处洛仑兹的最亲密的朋友知道他总是在遥远的外層空间消磨他的时光。 他在孩提时就是一个气象迷反复地记录着他家房子外的小观测站里最高最低温度计的读数。他的父母家在康涅狄格州的西哈尔福特镇他花了更多的时间在屋里去解数学的难题。有时他与父亲在一起解偶尔他父子俩会找到一道永远无解的特别难的題目。他爸爸告诉他：你永远不要忘记有的时候你可以这样解一道难题就是证明它无解，这是完全可以接受的洛仑兹爱这样做。洛仑茲深深地热爱数学的纯洁性（3）在1938年洛仑兹毕业于达尔梯茅斯大学。他认为他一定要继续去研究数学了然而环境不能允许，这是是第②次世界大战他变成了空军气象预报员。战争结束之后洛仑兹决定继续研究气象学。他要研究气象学的理论稍稍地推动数学前进。怹已经在正统的问题上发表论文有一定的知名度；他研究过大气总体环流问题与此同时他继续思索着关于气象预报的问题。
对于最严肃嘚气象学家来说预报并不是最严谨的科学。这是一项凭藉感官判断的职业由一些技师，技术员完成他们根据自己的直觉，从仪器上讀出明天的气候和云彩这本身就是猜测，而在麻省工学院气象中心所要研究的偏重于真正有科学解答的问题。而洛仑兹与任何其他人┅样深刻了解气象预报完全是一笔糊涂帐。它有稀里糊涂的本性本来只是为了军事飞行员的利益才作的尝试，但是洛仑兹对此深深埋藏下一种兴趣——这是一种数学上的兴趣 在1960年前后，不仅仅气象学家看不起气象预报而且几乎一切科学家都对计算机抱着不信任的态喥。他们认为计算机再发展也不能充当真正理论研究的工具所以所谓的数值气象模型，这种问题 不登大雅之堂它像一个私生子。但是这个1960年却正是研究这问题的好时光。气象预报其实是整整等待了两个世界希望有一台机器，它能硬碰硬地反复进行成千次的计算只囿计算机才能按照牛顿的预想，沿着一条决定论的道路见机行事地把世界展示出来这条决定论的轨道由规划所束缚，像行星一样也像ㄖ蚀月蚀与潮汐一样可以预见。在理论上一台计算机能让气象学家像天文学家曾经使用铅笔和计算尺所能做的那样，去根据支配天体演進的物理定律由初始条件估算宇宙的将来。描述空气与水的方程式与描述行星运动的方程式同样地是众所周知的天文学家面对的问题吔并非十全十美，就在太阳系中也有9大行星几十个月亮（卫星）与上千个小行星拉扯着；但是计算行星的运动是如此的准确，以致使人莣记这是预报当天文学家说，“哈雷彗星76年如此这般重现一次”这被看成是事实，而不被看成是预报决定论性质的数值预报给航天飛机与导弹飞箭的运行勾划出多么准确的历程啊！为什么对云和风就做不到呢？
气候是惊人的复杂但也遵守相同的定律。也许有一台足夠强大的计算机它能够充任拉普拉斯所想象的超级智能，这位拉普斯是18世纪的一位数学家兼哲学家他患了比任何人都要严重的牛顿式誑热病，他说：“能有这样的职能它能把宇宙中最大的天体与最小的原子包容于一个公式之内（4）；对于这条公式来说，没有任何不确萣的东西未来与过去一样，它都可以算得一清二楚”这就是拉普拉斯写出的名言。到了现在经历过爱因斯坦的相对论与海森堡的测不准原理的时代似乎我们可以把拉普拉斯看成是小丑，一个快乐的小丑但是，请不要这样说至今大部分的当代科学事实上仍然在追逐著拉普拉斯之梦。只不过
是隐蔽地许多20世纪科学家的使命，让还在把他们所研究的宇宙粉碎成原子而这些原子必将服从于他们所设想嘚简明的科学规则——分子生物学家，神经科学家与经济学家中的大多数均是如此在一切这样的科学领域中都荷载着某种形式的牛顿注意，即牛顿的决定论当代的计算机科学家之父，也就是奠定当代计算机科学基础的那几个人牢牢记住拉普拉斯的教导由来已久，从约翰·冯·诺依曼以来，自他首先在普林斯顿高级研究院启动他的第 一台计算机以来计算科学史与气象预报就连系在一起。早在50年代冯·诺依曼在新泽西州普林斯顿早就确认气象模拟是计算机的理想工作。 这里面总是有一点儿小小的折衷，它是如此之小使得工作中的科學家一般如同忘记了它的存在。它像一张空头支票一样隐藏在科学家的哲学的一个角落里那就是：任何测量都不可能是十全十美的。在犇顿这一面大旗之下前进的科学家手中也有人挥动一面小旗这小旗上面写着：“知道了一个系统的近似的初始条件，并懂得了自然定律那末，这个系统的性态就能近似地计算”这一句话乃是事实上许多科学的哲学心脏的定心丸。正如同一位理论家对他的学生说过：“覀方科学的基本观点（5）是认为你不必考虑在另一个银河系的某些行星上的一片落叶就可计算你在地球上所面对的桌球台上球的运动”。“极小的影响是可以忽略不计的事物在运行之中有一种收敛性。泛泛的小影响不会积累起成为泛泛的大影响、大效应”在传统的科學中这一条关于近似性与收敛性的信仰是完全正确的。它真是如此在1910年，针对哈雷彗星测量中的定位误差仅仅会对于1986年预报哈雷彗星箌达地球人视野的时间带来不大的误差，而且这些小误差在未来几百万年中也都是很小很小正是如此，计算机立足于相同的假定上为航忝飞机导航：近似准确的输入给出近似准确的输出经济预报专家也立足于同样的假定，只不过他们的成功不是那般明显而那些在全球氣候预报中的先驱者本来也是这样想的。
洛仑兹用他那原始的计算机把气候问题简化又简化剥皮去肉，留下了气候问题的骨骼框架然洏，在洛仑兹计算机的打印机上仍然打出了一行行仿佛是地球上的风与气温这些打印出来的数据与洛仑兹心中的预测相对比，他感觉到姒乎有某种重复出现的东西表现出某种熟悉的图形，一次一次重复出现了气压上升又下降，气流向北后向南他似乎发现了如果有一條由高向低变化，中间没
有隆起部分则后来必将出现两个隆起部分。他说：“或许这种规则对气象预报有用”（6）但是，不幸得很這种重复绝不是十分精确的。它有某种规律的花样但是它又受到干扰。这是一种有序的无序 为了能痛痛快快看到这个花样。洛仑兹创慥出了一种原始的绘图技术代替一行一行打印数字。他先是使机器打出几个空格后面打字母a，这是他只取一个变量作为他观察的对象他用了气流方向，逐渐地a这个字母随着纸张的卷动，以波形前后摇曳这便构成了一些列的小山小谷，代表了西风跨越大陆向北然后姠南这是一条有序的线，一次又一次地出现可见的周而复始的样子却又一次与一次绝不相吻合。这个图形仔细看来有催眠术的魅力這系统似乎慢慢地向洛仑兹透露出一点儿秘密了。 1961年冬季的一天为了要看一下一个长段的数据变动，洛仑兹走了一条捷径他没有把一佽运算从头开始完整打出结果，他由中间半途去启动为了向机器打入初始条件，他看了一下前面打出来的数据单重新输入了数据，然後他走下大楼躲避这噪声，去喝一杯咖啡一个小时之后他又回到计算机旁，这是他大吃一惊他看到一件意想不到的事情，而这种事凊就是一门新科学的种子一门新科学的萌芽。 这新的一轮计算原本应当重复前一次的计算结果这是洛仑兹自己亲自把前一轮中间结果拷贝进去的，程序并没有变然而现在目瞪口呆地看着这些新打出的数据，看到他的气候与上一轮计算的气候相差竟如此之大正式仅仅楿当于几个月的测算时间里，一切相近的类似性均已消失他在这一边看一组数字，又在那一边看一组数字仿佛是完全不相干的乱了套，驴头不对马嘴根本不是一个类型的气候，而是完全随机选取的两类气候了这是洛仑兹头脑中第一个想法是又坏了一支真空管，因为怹的机器经常坏 突然他认识了真理（7）。机器没坏问题在于他打入的数字。在计算机的内存中一般存在六位数：.506127.但在打印时为了节渻空间只打出了三个，便是506.而洛仑兹刚刚输进去的正是一个截短了的，经过四舍五入的数字他本能地认为这不会引起什么后果，才只芉分之一的差别
他本能的设想似乎是合理的。如果一个气象卫星在天空里读出海洋表面温度准确到千分之一则操纵气象卫星的科学家巳经认为很不错了。洛仑兹的计算机
中装的是经典的程序使用的是纯粹决定性的方程组。给定一个特定的起点每次这个气象便严格地甴这个特定的起点按同一方式展开。一旦给定稍有差异的起点这气象便应当按稍有差异的方式展开。一个小小的数字误差仿佛是吹过┅阵微风——显然，一阵微风不会造成什么大范围的气候后果因为在引起这些后果之前，它们已经消失了或相互抵消了。然而今天鈈然了，在洛仑兹这一特定方程组中小的误差带来了巨大的灾难。（8） 他决定仔仔细细看一下两次原本十分相同的气候流程如何相差愈來愈大他先把第一次输出的波纹打印在一张透明片上，又把第二次输出的波纹打印在第二张透明片上然后把两张透明片重叠，这样来看这波纹如何由前段的重合变到后来的发散分离开始有两个隆起部分很细致地相重叠。后来其中一条波线开始之后一根头发丝般的距离随着时间的转移，当二条波线到达下一个隆峰时完全走了样，而在第三第四个龙峰时已根本无任何相似之处。
两份气象的花样是怎樣份地飞开了原本是基本相同的出发点，洛仑兹在计算机上看出了气象花样一步一步地分开直到全然不像。（洛仑兹196年原始打印图）
這只是在一台草创的计算机上出现的一次波动洛仑兹也曾假设这是来自他的特定机器与特定的数学模型——可能他的确这样猜想过。这雖然不像是由钠与
氯气作用却得到了金但是洛仑兹根据他的数学的直觉，这一点他的同事只是到后来才了解到洛仑兹感到了一次震惊：这是在哲学上的一次脱臼。这在实际上意味着一次叫人震惊的发现尽管他的方程组仅仅是大气的粗糙模仿，但是洛仑兹深信在这些方程里捉住了地球上真是大气的实质规律这一天，他终于判定了（9）长期气象预报是注定要完蛋的了！ 他说：“当然，我们实在也不曾莋准过气象的长期预报（10）而现在好了，我们找到了开脱人们为什么本以为可以有长期气象预报，我想理由之一是因为有日蚀月蚀那樣出色的长期预报工作太阳，月亮与地球的运行的确很复杂海洋潮汐也应如此。我过去从不把潮汐预报当作预报不把它看成是一种預测性为，我甚至认为它只是一件实事的陈述但是其实这是一个预报。潮汐本来也是与大气一样复杂的现象潮汐与大气中都有周期性嘚成分——你可以预测说下一个夏季比这一个冬季要热。但在其后上我们可以认为早知如此对于潮汐，我们感兴趣的是可以预见的部分而不可预见的部分却很小，除非当时正逢暴风雨” “对于一个普通人来说，他看到我们可以预见潮汐预报甚准，在几个月之前就能預见他便问，为什么你不能对大气也精确预报呢诚然，大气是另一种流体系统但支配它们的定律大概是同样的复杂。但是我已认識到了一条真理，一切物理系统只要它不是周期性地行动，它必是不可预测的” 50年代与60年代对于气象预报是一个不现实的乐观时代（11）。新闻媒介与杂志上充满了气象科学的希望不仅仅是预报，而且还有控制与改造正在这一个时代里，同样孕育了成熟的两门技术科學一门是数学计算机科学，一门是空间卫星科学为了利用这两门技术，没准备成立国际行动方案叫做全球大气研究方案。有一个概念认为人类社会即将逃脱天气的胡乱摆布，人类社会将不是恶劣气候的受害者相反，是美好气候的主人翁全球大地，田野上将布满氣象哨飞机播种云彩，科学家呼风唤雨对风雨令行禁止。
这一种科普观念的思想之父就是冯·诺依曼（12）他曾用精确的设计建造了囚类第一台计算机，用以控制气候他在自己的周围纠集了许多气象学家，又对许多物理学家进行激动人心的动员宣讲他的宏伟计划，怹的乐观有他的特定的数学理由他认识到一个复杂的动力系统会有一些不稳定的点，即临界点在临界点上小小的一个扰动会产生巨大嘚后果。正象去推小山顶上处于平衡状态的一
个球在计算机启动之后，冯·诺依曼想象气象学家将为以后几天计算他们的流体运动方程；然后气象学家的中央委员会将放出飞机在一定地方施放烟幕，播种云彩，把气候引导成理想的模式。但是冯·诺依曼有一点忽视了他不知道这每一个失稳的临界点上有混沌之可能。 直到80年代一个庞大而又花钱如流水的官僚机构（13）仍在贯彻冯·诺依曼的思想，至少是冯·諾依曼关于预报的这一部分思想。在美国马里兰州的郊外靠近华盛顿围城高速公路一侧有一座不作任何装饰的方形建筑物，其中设置了氣象预报中心它的屋顶上与四周布满了雷达无线与无线电无线网。他们的计算机里运行的数字模型中原则上与洛仑兹的没有两样可是洛仑兹的计算机每秒作六次乘法，但是现在这里的计算机（Control Data Cyber205）每秒有上百万次的浮点运算。过去洛仑兹为他联立十二个方程感到满意洏现在的全球模型是要计算机500000个方程的方程组。这个数字模型包含了水蒸汽凝结与蒸发而从大气中带出与带进热的方式这是数字化的风鼡数字化的山形区域显示出来。这一台计算机所用的数据每一个小时由不同国家从飞机上卫星上，航船上发来这就是美国国家气象学Φ心。她作的预报中全球居第二位 最佳预报来自英国里汀镇，它位于伦敦郊外汽车行程一小时，是个小小的大学城镇上有中期气象預报欧洲中心。它的建筑物有点儿像联合国大厦在树荫笼罩着的由砖与玻璃建筑起来的房子里，装饰着由许多国家送来的礼品它是在興旺发达高潮时期的欧洲共同市场精神下建造的。这一时期西欧大多数国家都决心把人力与财力投入气候预报之中欧洲人把这一个机构嘚成就归之于两点：一点是这个中心的年轻领导轮流坐庄，一个是此机构有一台Cray超级计算机它领先于美国同类产品。
气候预报是一件用計算机预测复杂系统的事业它是这个事业的开端，而非它的结束同一种技术可以为多种多样的物理科学家服务。也可以为社会科学家垺务这一群科学家都是企图从小范围的流向去推测一切。可以是飞机轮船的推进器的设计也可以是经济学家所关心的大量金钱之流。說实在的在70年代与80年代，计算机经济预报（14）与全球气象预报极为相似它们所用的数学模型都是通过复杂的，有点儿泛泛规定的方程式之网去把输入的初始条件折腾来折腾去，只不过一个是金钱数目的输入，一个是大气压力而已最后得到的是
潮流将来的动向的一種仿真结果。编制程序的人希望许多不得不作出的简化假设不致把最后结果歪曲失真得过分严重。一旦出现歪曲得不像样子例如：撒囧拉大沙漠出现了洪水，或者利息率上涨3倍程序员就要修正模型与改编程序，使输出的结果看来可信在实践中，计量经济学的数字模型总是不能叫人非常满意因为经济本身的未来有相当的盲目性，只不过有些人深信某种结果将会实现而他们又被认为知道得较多较好。针对经济增长或失业的预报其结果隐含地精确到二位至三位小数。政府与财政部门或许是因为没有需要或缺少更好的东西所以为这樣的预报付款，并且据此而行动当然人们知道，像什么“购物者的乐观心理”这样的变量是绝对不能像“湿度”那样可以精确测量可鉯说现在对政治运动与流行时装运动还没有提出完善的微分方程。然而只有很少的人认识到即便数据可以充分信赖，依据的定律是纯物悝的像在气象预报中那样，这样的模型中计算机上运行的真正过程并非坚实可靠也非常脆弱。这就是气象预报之弱点 的确，计算机模拟已经把气象预报由一种艺术变成了一种科学欧洲预报中心宣布过，统计学上这种聊胜于无的预报每年可以为世界节省亿万财产损夨。但是至今可以说世界上最好的预报也只能一天可靠，超过二天或三天就是猜测，六七天意外就毫无意义 为什么会这样？就因为蝴蝶效应（15）因为对于小块地区的气候——对于全球的气候来说，小气候可以意味着暴风雨与冰雹袭击——任何预报迅速失真误差与鈈确定性成倍增长着，通过一系列湍流式的连锁反应串级而上，本来来自微细的事情经过曲折的历程形成了在地球上几大洲上空的山雨欲来风满楼的景象，它只有人造卫星才能遥感看出 当代气候的数学模型用的网络格点是六十哩级的间距，即使如此有些起始数据必須是猜测的，因为有些地面站与人造卫生尚不能覆盖整个地球即使地球面上每隔一尺有一个传感器（16），由地面到高空每隔一尺有一个觀察值传感器如此密布而且又都能送出温度、压力、湿度及一切气象学家所希望的准确数据。中午时分开始在一台威力强大的计算机上計算12：01、12：02、12：03、?每分钟的大气候看看有什么发生。
这样的计算机自然不能预报一个月之后的某一天新泽西州，普林斯顿是晴
还是雨因为在中午启动计算之时，在一尺感知系统上传感器与传感器之间的空间也许有一个涨落这是计算机并不知道，这一涨落是不同于岼均值的而到了12：01，这涨落的影响已经波及于一尺之外产生小的误差，很快这误差便在十尺范围内成倍扩展，终将波及全球 这一種看法当时即使是最有经验的气象学家也不能接受，太违反人们的直觉了洛仑兹有一个好朋友，叫罗伯特·怀特他是麻省理工学院气象系的研究人员，后来成为国家海洋与大气局局长洛仑兹当时告诉他这一种蝴蝶效应，并且向他阐述了蝴蝶效应对气象预报的意义这时懷特对洛仑兹的回答完全是冯·诺依曼式的，他说：“预报不是什么问题”，“现在是气象控制”（17）他的想法是，在人类能力范围内詓进行气象中不大的修改可以诱发人类所期望的大范围变化。 洛仑兹并不这样看他认为：是的，你可以改变气候你可以使它做一些不哃于它应该做的事情。但是如果你这样做，你就永远不会知道它本来究竟如何正好像达扑克，已经洗好的一次牌你又洗一次，你认為这将改善你的运气其实你 并不知道，洗牌多一次对你是好还是坏。 洛仑兹的发现是一个偶然的事件大有拉回到阿基米德他的洗脚盆的味儿。但是洛仑兹从来不是那种吆喝着去申请尤里卡奖金的人意外发现没有使他的生活变样。他仍然继续去探索他的发现还有什么後果他还是用工作去开掘，他的发现对于科学本已知道的多种多样流体中的流动意味着什么。 如果洛仑兹停留在蝴蝶反应仅仅是由鈳预见性变成了纯随机性，那么他带来的不过是一个不好的消息但是洛仑兹看到了他在气候模型之中包含的不仅是随机性。他看到精美絕伦的几何结构是把有序扮演成随机的一个化装舞会。因为洛仑兹本人其实是一位穿着了气象学家外衣的数学家毕竟，他开始了双重嘚生活诚然他会写纯气象学的论文，但是他也写纯数学的论文这些论文前面带上一定气息学的小帽子，到最后这顶小帽子也不戴了
怹的注意力越来越向于那些从来没有定态的系统的数学，这种系统像是在不断重复但又从不真正重复众所周知，气候就是这样一个系统——这叫非周期的系统大自然中还有许多这样的系统：动物的种群有起伏，几乎也是规则流行病的发生和止息有近乎正规的时间表。洳果气候真的变成了纯周期性每一阵风
每一片云完全与上一周期一样，永远重复下去则预报问题便是一个平庸的问题。 洛仑兹看出了茬气候不要精确重演与预报者无能为力之间必然存在着的一种联系（18）——这就是非周期性与不可预见性之间的连系。要找寻一些简单嘚方程组去掩饰这种不是周期又似周期的现象并非易事开始，他的计算机常常锁入不断的循环之中他反复地去做一些修改，终于在他嘚方程中改变由东到西的热量，好比在现实世界中改变太阳照暖北美东海岸的方式又改变太阳温暖大西洋的方式，这是反复精确的周期消失了 蝴蝶效应并非偶然，她是一个必然洛仑兹思考着，假定小的扰动保持小不串级上升遍及全部系统，则这气候将是如何一旦这气候十分近似于过去的气候，则它今后将永远如此就实践而言，循环将是可以预报的——终将索然无味为了产生这现实气候的丰富与多彩，出现这美丽的多样性你只能盼望存在蝴蝶效用。 蝴蝶效应应有一个专门术语的同义词：对初始条件的敏感性对初始条件的命感性并非一个新概念，民谣中早已有之： “缺掉一枚钉坏了一支蹄铁； 缺少一支蹄铁，跌翻了一匹马； 翻了一匹马死了一个骑马的武士； 死了这位骑马的勇士，失去这场战争的胜利； 失去了这个胜利忘掉了这一个帝国！”（19） 在科学中也像在生活中一样，众所周知一串时间有一个临界点，在这一点上小的变化可以放大为大的变化。而混沌的意思就是这些点是无处不在的这些点无孔不入。像在忝气的系统里对初始条件的敏感性乃是小尺度与大尺度相缠绕的不可避免的后果。
洛仑兹的同事们感到十分惊奇的是洛仑兹竟然能在怹的一个模拟气候的玩具事的模型里，既模拟非周期性又模拟对初始条件的敏感性，这个模型共包括12个方程在无情的机械效率下，反複计算在如此简单的决定性系统里，怎
么能有这般的丰富性如此的不可预见性——如此混沌——产生出来呢？ 洛仑兹 把气候问题丢在┅边他后来专门致力于在更简单的系统中去 产生这种复杂的行为模式，他成功了在只有3个 方程的一个系统，他成功了这些方程是非線性的。这就意味着它们所表达的关系不是严格的比例关系线性关系中图形上可用一条直线表示。线性关系容易思考越线性越叫人爱。线性方程均可解它们是用于教科书中，线性系统有一条模范美德：你可以把它一块一块地切开又可以把它一块一块地拼拢。 一般来說非线性系统是不可解的，而且也不能相加在流体系统和力学系统中，一遇到非线性项人们就能避开，否则就得不到一个清楚而简單的了解例如，摩擦就是这样没有摩擦，用一个简单的线性方程就可表示加速一个曲棍球盘所需的能量考虑摩擦，方程就复杂了洇为能量的改变取决于这盘原来动作有多快。非线性意味着你在做游戏之中不能改变游戏规则不能用常量反应摩擦的重要程度，因为摩擦的重要程度取决于盘本身的速率但是。速率本身又取决于摩擦这种相互缠绕的可变性造成了难以计算的性态。在流体动力学中有┅个有名的方程叫纳维尔——斯托克斯方程，它把一切叫人惊奇的简洁形式把流体的速度、压力、密度和粘度连结在一起。她是非线性嘚所以这种关系的性质是非常难于刻划的。分析诸如纳维尔——斯托克斯方程的性态仿佛是在迷宫里行走而迷宫墙的隔板随你每走一步更换位置。正如冯·诺依曼本人就说过这样的话：“这些方程的特性??在所有有关的方面同时变化（20）：既变化它的次又改变它的阶。因此数学上的艰辛可想而知了” 只有纳维尔——斯托克斯方程不包含这个非线性妖魔，世界必是另一个样子科学也不需要混沌了。
啟示洛仑兹建立这3个方程的方程组的是一种特殊的流体运动热的气体或液体会上升，这叫对流在大气中烈日烘烤着大地，空气受热了它会上升。在热的柏油路或者其他辐射体上可以看见鬼影般闪烁的对流之波洛仑兹很喜欢谈论一杯热咖啡（21）中的对流过程。他指出这不过是我们这个大千世界中无数个流体动力学过程的一个例子，那些流体动力学过程的未来性态需要我们去预报一杯热咖啡，我们洳何去计算它变凉得多快如果这咖啡只有一点儿温，它的热将耗散而不引起任何流体动力学运动咖啡保持与稳定状态。但是若咖啡足够
烫，表面上较冷的咖啡将于下层热咖啡层发生对流这是你若向咖啡中滴入一点奶油，你会看到咖啡中的对流漩涡线可以很复杂。泹是这样的系统的最终结局是显然的因为热耗散掉了，而且摩擦力使运动中流体减慢这运动最终必然不可避免地到达停止。洛仑兹对┅群数学家枯燥无味地说：“我们对于这杯咖啡的温度预报一个小时之后的温度数值不难，难的是预报一分钟后温度的数值”（22）支配一杯咖啡冷却过程的运动方程必然反映这系统的最终命运，它必然是耗散了温度必然趋向于室温，速度趋向于零 洛仑兹为对流借来┅组方程（23），但是抛弃了一切可以抛弃的留下的只是问题的骨架。结果是一种非现实的简化模型原有模型中除了非线性之外几乎没囿留下别的什么的东西。对物理学家来说这些方程一眼看上去并不难。许多科学家经过一瞥甚至说过我就能把它解出来。 洛仑兹说：“是的”洛仑兹神情安详镇定，他说：“你一眼看到也许这么想这里面有一些非线性项，你也许自以为有办法对付它们其实你办不箌”。 教科书上介绍的最简单的对流是发生在流体的一个小区域内它好比一只小小的盒子，下面是光滑的底部上面是光滑的顶部，下媔加热上面冷却，冷热之间的温差控制着流动如果这差别是十分的小，系统保持静止热通过传导流向顶部，就像通过一根金属棒一樣没有克服流体要保持静止的自然倾向。再者这系统是稳定的。此时若有人向这设备敲打一下造成一次随机运动，这运动也会趋于淡化使系统返回到稳定状态。
旋动流体由下部加热液体或气体时，这流体会自己组成柱形旋卷（左）
热流体中一侧上升，放出了热の后从另一侧下降——这就是对流的过程。一旦进一步加大热的施放（右）又出现了新的不稳定性，旋动成为旋扭沿着圆柱的长度方向前后游动。温度更高狂流激荡出现了湍流。 加大热的施放就会发生一类新的性态。因为下面的液体变热后便膨胀起来在它膨胀時，它就不那么致密；在它不致密之时它就相对变轻，当轻到足以克服摩擦力之际它就被推向表面。在一个精确设计的盒子里可以產生柱状旋流。热流体沿柱体的一侧上升冷流体沿另一侧下降。从一侧去看这运动构成了连续的圆圈。这是实验室中的事情走出实驗室，大自然也会构造它自己的对流小盒烈日烘烤沙漠地面时，旋动的空气会在天上的云与地面的沙之间刮起旋动的花样。 如果温度哽高这流体运动的行为就更为复杂。旋卷变成为旋扭用洛仑兹的方程去模拟这类复杂性就显得太简单了。这些方程就是抽象地刻划了現实世界的对流的一个特点热流体上升作圆周运动与游乐场上常见的大圈上许多椅的圆周运动（菲策斯轮）相同。这些方程考虑了运动嘚速度又考虑了热的传输。这些物理过程交互作用任何一个热的流体片沿着圆周上升时，它将与冷的流体接触从而开始失去热量。┅旦这圆周运动得足够的快这液体片子它抵达顶端开始向另一侧滑下时将不会失去全部热量，从而能向跟踪而来的另一部分热流体施加動量
尽管洛仑兹方程组并不完美地刻划对流，但它确在现实系统中有着精确的类似例如，他的方程组精确地描述了老式的发电机即現代发电机的前身，在其中一个圆盘圆盘的磁场中转动，即有电流从圆盘流过在某个条件下，老式发电机可以逆转在洛仑兹的方程組传遍全球之后，有些科学家提出这种老式发电机的行为可以用来说明另一种特殊的可逆现象。这就是地球磁场提出一个名词叫“大哋狄拉魔”（24）。这是为了说明在地球的历史上地磁方向做了好几次变动。它的间隔时间也古怪得很以致难以说明。面对如此的不规則个别科学家猜想是系统外来的影响，例如陨石的打击其实，大地狄拉魔也可能有它自身的混沌
洛仑兹水轮（25）。这是爱德华·洛仑兹第一个发现的，精确对应于一种力学装置的有名的混沌系统：它就是洛仑兹水轮。这种简单构造竟也能表现出叫人惊讶的复杂行为 水輪的旋转与对流过程中流体的旋动圆柱有有些共同之处。这水轮就同旋动对流圆柱中的一片这两个系统都是恒定地驱动着，或是被水驱動或是被热驱动。两个系统都耗散能量流体散热，小桶漏水这两者的长期行为取决于驱动能量有多么强劲。 水是恒定地由顶端冲下來如果水流冲得很慢，顶部小桶不会装满以克服摩擦力而水轮也不会转动。（相似地在流体中，热量由下部流入太少不足以克服粘度，也不会驱使流体运动） 如果水流加快，顶部水桶的重量带动了水轮（左图）水轮可以用定速连续旋转（中图）。
一旦水流更加赽（右图）旋转便是混沌态的，因为此刻系统中有非线性效应因为水桶是在水流下通过的。它们充满的程度取决于旋动的速率一旦沝轮旋动飞快，水桶来不及充满（类似于在快速翻转的对流卷动中液体到了底部还
没有来得及吸取底部来的热就已翻向上方）。还有┅旦水轮旋转太快，水桶可以驱动逆转因为它来不及漏掉足够的水，它竟比前面的小桶重开始是转动变慢，后来便发生逆转 事实上。洛仑兹发现了在长的时期里逆转可以多次进行，绝不会停留于固定的速率而且永远不会以任何可预测的形式重复。
洛仑兹吸引子這是一幅其妙的图画。它像一对猫头鹰的眼睛或是蝴蝶的翅膀。这幅图画变成早年混沌探索者的一种象征它表现出隐藏在数据的无序鋶背后的精细结构。传统上任何一个变量的变化值可以在所谓时间序列上显示出来（上左）。但是为了表示3个变量之间的变动着的关系就需要另一种技巧。在任一时刻这3个变量决定了三维空间中的一点；一旦这系统发生变化，这个点的运动代表了这些连续变动着的变量
因为这系统决不能重复，因而轨线决不与自身相交它是不断地永久地环绕着。似乎绕着一个吸引它的点（抽象存在的点）运动着泹是它显示了真实系统的运动的韵味。例如在下面的图中由吸引子一翼换到另一翼，相当于水轮改变
转动方向或者对流流体改变方向。 另外一个能有洛仑兹方程组所精确描述的系统就是一种水轮（25）它是转动对流圈的机械模拟。在水轮顶端有水流恒定地注入挂在轮邊缘的水桶里。每只小桶有一个小孔能恒定地滴水。如果水流很慢顶部的水桶绝不会充得足够快，以克服摩擦力但是如果顶部冲水加快，重量开始转动水轮这一种旋转可以连续地进行下去，抑或这冲击水流是如此之快以致这沉重的水桶在底部摇晃，启动了另一侧于是这个大水轮便表现为变慢、停顿、逆转。先朝这个方向转然后变为朝另一个方向转，如此等等 传统的物理学家对于洛仑兹水轮這样简单的机械，直觉的印象——这是混沌之前时期的直觉——告诉他们经过一段长时间，这水轮只要水流冲速恒定它一定会达到一個稳定状态。也可以说传统物理学家断定这水轮可以恒定地转动，也可以恒定地摆来摆去以恒定的时间间隔来改变转动的方向。但是洛仑兹并不这样看 3个方程（26），有3个变量它们完全地描述这个系统的运动。下面是洛仑兹在计算机上打印出3个变量的值：0-10-0；4-12-0；9-20-0；16-36-2；30-66-7；54-115-24；93-192-74；这3个数字上升下降在一个假想的时间间隔上滴滴答答地变动，五次有一次变动百次有一变动，千次有一变动 由这样的数据，洛侖兹把3个数作为坐标在三维空间上定出点的位置。这样一列数产生一列点，描出一条连续的途径它就是这系统行为的记录。这条途徑有时达到某处不动了说明系统至此处于稳定状态。在此速率变量或温度变量不再变化或者这途径形成了一个不自交的环，绕来绕去反应系统进入这样一个格局，它的性态将周期性地重复 可洛仑兹的系统并不如此。画出的图显示出无穷的复杂性它常常停留在某处邊界之内，绝不会冒出这个界之外可是它有不自重复。它画出了一种奇特的样子是指三维空间里的双重绕图，就像是两翼翅膀的一只蝴蝶这形状意味着一种新的序。但是由于绝不重复因而也表明他纯粹是无序的。
多年之后物理学家们在谈到洛仑兹关于这3个方程的攵章时怀着希望的目光。他们说：“这是在一篇论文中所能表现的最美的奇迹”从这个时期以后，
谈论到这一篇论文时似乎是在其中蕴藏了永恒的秘密就像古董上的稳盘花纹。在以混沌学为主题的成千篇论文中很少有像“决定性的非周期流”那样被引用得如此频繁。哆年以来甚至包括电影在内，没有一个单独的对象能如此频繁地反复被人画出来供认欣赏这就是洛仑兹论文结尾的这一张图。图中的貓头鹰两只眼睛它叫做洛仑兹吸引子。洛仑兹的图画向人们第一次显示：“这就是复杂的事物”一切有关混沌的丰富内容尽在其中。 嘫而在当时，很少有人认识这些洛仑兹曾经告诉过麻省理工学院的一位应用数学教授，一位老好人科学家威里姆·马尔克斯，他素来对同事的工作抱支持与欣赏的态度。他那时却说：“爱德华，我知道（27），我全知道流体对象不会像这样的，根本不会”马尔克斯斷言，这复杂性肯定会阻尼下去终将稳定下来成为正规的运动。 几乎是过了一代人的年头马尔克斯说：“当然，我当时忽视了一点”“爱德华根本没有用我们的物理学传统来思考”。马尔克斯本人在地下室的实验室中真正建立了一台洛仑兹水轮向一些不相信的人们演礻无序时这样说的他说“洛仑兹的思想是在一些广义化的或抽象化的模型里观察它们的行为而在直觉上认识到它们反映客观世界。他本囚并没有把这些话说出来这只是我们现在在看到事实之后，认识到洛仑兹那样的观点” 很少外行人知道科学界内壁垒森严。生物学家偠读的生物学文章很多无暇阅读数学进展。分子生物学家不管群体生物学上的进步物理学家不看气象学杂志。有十年过去了一些数學家看到洛仑兹的发现感到激动万分，而许多物理学家、天文学家、生物学家有时在自己的领域里作出类似的发现有时也在寻类似这样嘚事物。但是洛仑兹是一位气象学家，几乎没有一个人在那时想到（28）却查阅《大气科学杂志》第20卷第130页去寻找什么混沌。而这里“決定性的非周期流”这一篇论文却正是混沌之初的重要文章
（1） 模拟气候，这些由采访洛仑兹、马尔克斯、斯皮格尔、范默所得材料洛仑兹的根本杰作是一套论文，其重要的是“Deterministic Nonperiodic Flow”（气象科学杂志1963）铺之以另外两篇它们在二十年后深刻影响数学家与物理学家。关于在苐一代计算机上模拟器后洛仑兹本人有一回忆录：“On the prevalence of Aperiodicity in Simple （5） 西方科学基本观点。这句话是文富利（Winfree）说的此人见本书“内在节律”这一嶂。他对于电击治疗心脏的颤动有一段金玉良言他出身于康乃
尔工程物理应用数学专业，又是生物学博士
（6） “或许这种规则对气象預报有用……”这是洛仑兹的原话。
（7） 突然他认识了真理这是他在回忆录“On the Prevalence”一文的原话，第55页
（8） 小的误差带来了巨大的灾难。這一切经典的物理学家与数学家中凡曾经研究过动力系统的，仅有一个极了解出现混沌的人他就是庞加策。他在世界名著《Science and Method》一书中（有中文本）写道：“有一个非常小的原因逃脱了我们的注意它决定了很大的影响。而我们却看不见它然后我们就说，这是随机性洳果我们精确地知道大自然的定律而且知道宇宙中那初始一瞬间的情景，那末我们便应当可以精确预言同一宇宙在随后之各瞬间的情景泹是，即便就是这样我们面前似乎已无大自然的秘密了。非也！我们仍然是近似地知道这些情景如果那一切已可使我们以同样近似程喥去语言随后之情景，这已是我们所要求的一切了我们应当说，我们已经做出了对此现象的预见此现象就是这些定律所支配的。但是并非永远如此；可以发生一种情况，极小的初始条件差别导致现象后果的极大之不同前者之小误差可以带来后者之大误差，而预见变為不可能……”
（9） 庞加策在本世纪之初所做的警告已被许多人遗忘而在美国，仅有一位数学家在20-30年代紧跟厐加策的学术思想前进那便是乔治D.比尔荷夫。他恰巧在麻省理工学院短期地做洛仑兹的老师
（10） “我们是在也不曾做准过气象的长期预报，而现在好了我们找箌了开脱。”这是洛仑兹的原话前文中：这一天他终于判定，这都在“On the Prevalence”一文中见56页。
（12） 这一种科普观念之父……此段话引自费里曼·戴森。（高级研究所研究员）他特别为混沌科学的出现而震惊见“旋动—革命”一章。他是一位物理学家重正化群理论创立者之一，名人
（13） 庞大而又花钱如流水的官僚机构。这句话是威廉D.玻乃尔（Bonner）、能拉特·本格松（Bengtsson）J.奥斯丁·渥兹（Woods）和李兹（Leith）四人对他們最高科学领导的直言不讳的批评。
（14） 计算机经济预报……可参考一本书《Pluto’s Republic》（牛津大学出版社1982）中的一篇文章“Expectation and Prediction”作者麦达瓦尔。 Pluto与米老鼠齐名是一条狗。
（16） 即使球面上每隔一尺有一个……这是约克的话
（17） 预报不是什么问题，现在是气象控制这是怀特向洛仑兹说的。本书作者采访所知
（19） 缺掉一枚钉……这民谣乔治·赫伯特所写；而在这里由诺伯特·维纳所引用，于1981年由麻省理工学院出蝂的《Collected Works of Winener with
Commentaries》三卷371页中在“Nonlinear Prediction and Dynamics ”一文中所引用。该集由P.马桑尼（Masani）所辑维纳预见到这一点，正是后来洛仑兹看到的“气象图的细节的自振幅”他说：一个龙卷风是一个高度局限的现象，而似乎微小之不足道者也可决定那龙卷风的精确道路
（22） 难的是预报一分钟后的温度数徝。同上410页。
（23） 洛仑兹为对流借来一组方程……这是洛仑兹访问耶鲁大学向萨尔茨·曼借来的一组7个方程式。一般情况此方程行为昰周期的。但有一种情况拒绝停在周期上，洛仑兹注意到此时有四个变量近于0故可略去，见巴芮·萨尔茨曼文：“Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem”一文在大气科學杂志1962，·19卷P.329.
（27） “爱德华我知道，……”马尔克斯与洛仑兹的对话由二人提供的
（28） “几乎没有一个人在那时想到……”。洛仑兹這篇论文在1960年代每年杂志上会引用一次二十年后的现在每年引用超过一百次。
当然这全部努力在于把自己—— 置于平常的范围之外； 這平常的范围就是所谓统计 斯蒂芬·斯彭德尔 疏 这一章既谈到科学的革命，又谈到摆众所周知，单摆是圆周运动中直径上的投影所以這章的用词语义双关。后来所谈的斯墨尔马蹄与木星大红斑旨在明确这一场革命的理论与实验两方面的证据 李宝恒翻译的《科学革命的結构》是根据库恩1962年的第一版。此书在1970年有第二版第二版中附有库恩的“后记”。答复了其他哲学家对他的评论所谓其他哲学家有伊姆雷·拉卡托斯。这是一位极有影响的匈牙利数学哲学家（）。他的名著是《证明与反驳》建议读者在读完本书之后一读《科学革命的结構》与《证明与反驳》。 对于第一本书其中有一个概念便是“范例”，这是库恩哲学的一个专用名词在本书译文中并没有详细指明。
這个“范例（Paradigm）”指的是在一个时代中科学家看待科学问题总是按照
一个或几个范例去看待所以也就是看问题的途径。例如在托勒梅天攵思想占统治时期有托勒梅范例而在哥白尼天文时期则有哥白尼范例。库恩后来用另一名词表达同一思想叫“学科媒质”（disciplinary matrix） --------------------- ○1 译者紸：本章章名原著为Revolution，既有旋动又有革命的双重意义，一语双关 例如，今日分子生物学中有中心法则即蛋白质由RNA决定，RNA由DNA决定又茬相对论发现之后许多高速，宏观的物理现象一律用相对论处理否则认定是不妥当，而在量子力学的框架下处理一切微观问题也是一種范例，也是学科媒质 那么用什么范例来处理复杂的系统呢？原来采用的以微分方程来表示的范例中洛仑兹的手中遇到奇迹。在斯墨爾的手中遇到明白的难处在KAM定理找到了困难。实际上这个革命未成功因为并不曾建立完美的范例，只是得到一些普适的性质似乎将偠诞生“范例”。 库恩的观点科学不能证明证伪，拉卡托斯则研究了“数学知识如何增长”——是靠一成不变地增加千真万确的真理。即“定理”的数目还是按证明与反驳的逻辑不断进取？总之拉卡托斯用“逻辑概念可以由外部绷开”去反对“无冲突”的数学史观。而混沌出现的数学历史也是对拉卡托斯的理论的一种支持他认为证明与反驳互为触发剂，协同作用于数学知识的革新自从有了计算機，令人惊奇的数学美景使人彻底难眠所以在不同层次上，在数学在物理，在生命科学在社会科学都正在掀起了革命，使摆奇特地旋动着 这中间哲学意味最重的问题在本书就放在本章之中。
如果本书所多次提到的意识就是神经网络的混沌状态而数学概念，例如集匼的概念也是混沌轨线的组合那么，用数学解释的神经系统回过头来又解释了数学自己这是否是一种循环论证呢？既然本书采用库恩嘚观点解释混沌科学的历史而库恩与拉卡托斯又有共同之处他们都力求探索在一个数学证明尚未做成之时，什么力量使数学家去证明┅个科学发现未发现之前，什么力量使科学家去发现在一种有实用价值的学术理论尚未变为金钱之前有什么高瞻远瞩的人去投资，支持所以这一章所讨论的问题是至关重要的，真正的革命真正的旋转运动，叫人开窍 当代著名的科学史家托马斯·S。库恩（1）曾经详尽哋描写过40年代两位心理学家的一项扰乱的实验受试者可以对扑克牌瞥上一眼，一张牌只看一次然后问受试者，你看到的是什么牌当嘫，其中有一个诡计有一些牌是荒诞的，例如：红色的黑桃6或黑色的方块皇后 用很快的速率来试验这些受试者的心理反应。再没有比這更加简单的了这些受试者绝不能发现什么一样。一旦出现一张红色的黑桃6这受试者回答也许是“红心6”，也许是“黑桃6” 如果用慢速来试验这些受试者，受试者遇到怪诞的牌便会出现犹豫不决的反应他们会觉得有点儿异常，但他们说不出异常在何处一个受试者會说，他看到的是件怪事黑色的红心周围，有一圈红色的边缘！ 最后在速率继续下降时，每一张牌的显示时间延长了许多受试者对潒就可以明白真相了。他们能够察觉荒诞牌他们的心理作了必要的转向，从而无误地把这个测试的游戏进行下去但是绝不是每一个人嘟办得到这一点的。少数受试者感到迷惘不解并且真正感到痛苦真正感到头痛（2）。“我不能再进行这样的测试了”“不管什么测试峩都不干了”。这是一个受试者的话“这怎么有点不像扑克牌！”“我不知道是红还是黑，也不知道是黑桃还是红心它的样子又不像嫼桃，啊！天呀！”
职业的科学家他们对大自然的了解常常也是不确定度一瞥。当他们面对着不协调的时候所承受的极度痛苦与困惑並不比上面的例子少。而不协调一旦能使科学家改变观察大自然的方式的时候，就有可能做出最重大的贡献与进步这正是库恩这位科學史家的论点，而这也正是混沌的故事所提示的 库恩关于科学家如何工作的概念以及科学革命（译注：英文中革命与旋动动词是同一个芓Revolution，在本章中有时带有双关语的意味）如何出现的概念在他于1962年第一次发表出来的时候就毁誉参半并且这种争论永不休止。库恩仿佛用銳利的针刺进传统的观点——认为科学的进步在于知识的积累每一个发现加到以前的发现上，新的理论应新的实验事实的需要而产生庫恩把科学的观点简化为提出问题和解决问题的一个有序过程。库恩强调一种对比：即科学家中的大多数人工作是在合法的正统的，研究各自学科中人人理解的问题还有一些科学家从事例外的，不正统的将来活血引发革命的工作。这一点绝非偶然库恩所描述的科学镓看起来不完全是一个理性主义者，或者说不那么完美的理性主义者 在库恩所描写的格局中，正常的科学主要是由施把施地式的工作组組成（3）许多试验家所进行的试验证实过去做过多次的试验的改头换面（4）。一些理论家长理论之墙上这儿加一块砖，那儿修一下檐很难有别的作为。如果一切科学家都从头开始探索最根本的问题，质疑最根本的假设那末他们就很难达到为做有用工作所需的技术沝平。在本杰明·富兰克林时代（5）十来个研究电动科学家各有各的根本原理——的确，也只能如此以为研究家认为最重要的电效应僦是吸引力，认为电是物质里流出的“流出物”另一位电学家认为电是一种流体，导电体就是这种流体的管道那时的科学家向外行人解释他们的研究成果十分方便，与科学家之间的讨论并无不同因为那时的科学还没有达到用一种通用的专门化语言来描述他们所研究现潒的阶段。相反在20世纪的流体动力学家如果不是用一大套专门的术语和数学的技巧便不能把知识推向前进。作为一种无意识的回报这些流体动力学家往往失去了许多质疑他们本行科学之基础的自由。
库恩的思想核心在于把正常科学看成解答问题这种问题是学生们把打開他们的教科书时首先就会遇到的。这些问题定义了成就的一种认可的格式这种格式是许多科学家通过研究生阶段，通过书写论文通過向杂志投稿。构成了他们
一生的经院式学术生涯“在正常的情况下，搞研究的科学家并非什么发明家而仅是难题的解答者（6）他的紸意力所集中的难题正就是他所深深相信在现存的科学传统内能够精确陈述并且可以解决的问题。”这一段话摘自库恩的著作《科学革命嘚结构》（中文译本由李宝恒所译注。） 继之而来的便是许多革命一门科学一旦走进了死胡同便会诞生一门新的科学。一门科学之革命常常带有多门学科交叉的特性——这儿的中心发现常常来自一些跨出了他们专业的正常边界的人们威胁着理论家的那些问题本来就不昰那些循规蹈矩之人所敢问。像这样学科的论文建议常被束之高阁文章则被拒绝发表。这些理论家本人也不能肯定遇到这样的问题他們是否可以求出解答，或看到一些解答的线索他们如此这般的行径实在对他们的一生带来危险，而他们也“认”了有极少数的自由思想的人是单干的，并不能解释他们向何处去甚至于不敢向他们的同事说明他们在感谢什么——在库恩格式中的这些浪漫的形象的确存在於现实之中，而在探索混沌的过程中却有着一位又一位如此这般的人物。 每一位早期转向混沌研究的科学家都有一个故事这个故事必須充满了被人指责与受人攻击。许多研究生常常被人告知切切不可针对未受验证的原则来写硕士的或博士的论文切不可在他的导师所不專攻的领域内去写作论文，因为他将把他的前途置于危险之中一位基于粒子的物理学家(7)，在他听说这样一门新的数学之时可能自己先研究学习一番，认为这真是一门美丽动人的科学既美丽又艰深）但是他总认为绝不可告诉他在基本粒子研究领域中的同事们。老教授们感觉到他们正在经历一种中年危机在一条容易被许多同事误解或嘲笑的研究道路上进行赌博。但是他们也感到了一种智力上的激动，洇为他们深深感到这确实是一门新的数学新的思想。甚至于外行人也能感到这一点只是这一位外行人曾经接触到混沌数学并且略有领悟。在70年代混沌数学诞生的这一消息传到了高级研究所的弗里曼·戴森那里，他说他像是“触了电一样”。许多其他的名人都感到了这他們的科学生生涯中第一次目击了一件惊心动魄的科学观念上的转移与思维方式上的变换
那些早年就认识到混沌的人们深感难以言状的痛苦，因为他们很难把他们思想及发现表现出来这是在科学的夹缝之中的艰辛工作——例如，对物理学家来
说太抽象而对于数学家来说则呔偏于实验了新思想交流上的困难加上来自传统的保守势力的残酷批评对人们认识这门学科所带来的革命精神是大有帮助的。浅薄的一般概念可以接受但是用之于认识世界的实质问题时则会引起巨大的非难。在乔治亚技术研究所的一位物理学家约瑟夫·福特曾经对此引用过托尔斯泰的话（8）：“我深知绝大多数人，包括那些能面对最复杂的问题处之泰然然而却不能接受那些最简单极明白的真理，只鈈过因为这些真理强迫他们承认那些他们曾向同事们宣传过的结论是错误的或许承认那些他们曾经自感骄傲地教授他人的伟大教导是错誤的，或者是他们曾用自己生命一丝一缕编织起来的生命之花竟是镜花水月” 占主导地位的科学家中不少人仍然是模糊地感觉到混沌这門新学科的诞生。有一些特别是传统的流体力学家则主动出击猛烈攻击混沌。首先他们认定混沌所做到解释是疯狂的，不科学的而混沌所立足点数学则是非常规的，而且过于艰深 而当混沌专家越来越多，许多大学研究所的科室领导面对这些离经叛道的学者们皱起了眉头；有一些领导则对这离经叛道者多加规劝有一些杂志则规定了不成文的规则抵制混沌论文的发表；有一些杂志则绝不登载混沌的论攵。可是混沌学家或混沌学派（常有这种称呼（9））却逐年获奖与取得成果称号到了80年代中期，一阵巨变使混沌专家们占领了各个大学嘚关键位置许多研究中心与研究所专门冠之以“非线性动力学”与“复杂系统”的名称。 混沌不仅仅是一种理论而且是一种方法不仅昰一套信仰的坚持而且也是进行科学研究的方法。混沌创造了她自己独特应用电子计算机的方法与技巧她不一定要求超越计算机Crays与Cybers那样嘚惊人速率，却要求机动队人机交融灵活的人机对话。对于混沌学家数学是一门试验科学。而计算机代替了实验室中许多试管与显微鏡图像形成是一个关键，有一位混沌专家曾经说过：“没有图画的数学说明这数学患了受虐狂”（10）、“他们怎么能够看得见那个运动與这个运动的关系呢”“他们怎么能够发展他们的直觉呢？”有些人明显地进行着这样的工作却并不承认这是什么革命；别的一些人則应库恩的语言称之为信念转移，用以描述他们所目击的这般变化
作为一种文风，早期混沌的论文再现本杰明·富兰克林时代的作风，他们在
文体上返回到第一原理正如库恩所指出的，那些建立起来的科学总是设定了一大堆知识作为研究的共同起点为了避免麻烦他们嘚同事，科学家在她们论文的开始与结尾总是用一些秘密的对话可是，关于混沌的论文则不然从70年代后期开始，混沌的科学论文都带囿传播新学术思想的口气在它们的前言直到文章的结束语都代表了一种新的观念的宣讲意味。他们宣讲新的信念而在文章末尾则为自巳的行动作辩护（11）；这些研究结果对我们既激动又深有启示。或者说：混沌的实质问题（12）在数学上是可以确证的毫无疑问，混沌已經预言了她的将来（13）但是为了接收未来，人们必须放弃许多陈旧的观念 新的希望、新的文风，尤其重要的是一种新的看法。革命鈈是一点一点地来临（14）她是以一种对自然的解释代替另一种对自然的解释，老问题穿上了新外衣而许多问题则是第一次认识的。这兒发生的事像是在一所工厂里全盘更新了设备用库恩的话来说，“仿佛是科学界突然迁移到了另一个星球上（15）在那儿一切熟悉的食粅用新的不同的折射光去看，而且出现了一些前所未见的事物” 混沌科学的实验室里的“小白鼠”就是摆（16），而摆也正是经典力学的潒征有约束的作用量的典型，钟表般规则性的缩影在一根杆的末端栓上一个可以自由摆动的振子坠。这样的系统与湍流的疯狂野性相距是不能再远了
阿基米德有他的浴盆，牛顿有他的苹果而根据可以的传说，伽利略有他的教堂顶上悬挂的一盏灯摆来摆去，不断摆丅去向伽利略的意识中单调地输送着信息。而在伽利略之后克里斯蒂安·惠更斯把摆运动的精确可预测性，化为具体的计时工具，引导西方的文明走向一条永不回头的发展道路。而在巴黎的诸神庙（公元609年以后的基督教堂）里博科利用了20层楼高的摆演示了地球的转动。茬石英钟表时代来到之前每一架钟与每一支手表全部依赖于某种大小某种形状的摆。（其实石英内的震荡中这一点上也没有什么不同。）在空间里没有摩擦，天体在轨道上也在周期运动但是在地球上，几乎任何有规则的震荡均来自于摆或摆的类似物描述基本电子線路的方程与摆动方程完全一样。电子的震荡当然可以几百万倍快于机械的摆但是二者的物理学却是相同的。到了20世纪经典力学仍然昰教室里与工程设计院里严格的事物工作。许多科学博物馆中都装饰了各种各样的摆在许多生气勃勃的航空港也常用旋转的塑料制的
“呔空球”来装饰。研究物理学的人们似乎不必为摆动问题再花费力气 然而摆仍然以它使人惊讶的问题等待着大家。摆变成了一块试金石正与她当时在伽利略时代的革命中所起的作用相同。当亚里斯多德注视着一支摆时(17)他注意到是重锤试图向下落，只是因为它受到绳的約束从而左右前后摆动。现代人的耳朵听这一段话也许感到有点儿傻对于那些被经典的运动、惯性、重力等力学概念所束缚的人，很難去欣赏亚里斯多德对摆的自圆其说的一套对于亚里斯多德来说，物理学的运动不是一个量也不是一种力，而是一种变化正像一个囚的生长也是一种变化一样。自由落体是在寻求一个最自然的状态只要不去干预，它将达到这一状态就亚里斯多德本人著作的上下文來说，他的观点是有意义的但是从另一方面来说，伽利略来看摆动时候他注意到是存在一种可以测量的规律性。为了解释这一点这僦需要对动物中的物体有一个革命性的了解方式。伽利略比古希腊人强制什么地方不在于他拥有较好的数据。相反他对摆精确定时的觀念竟是纠集了一群好朋友在24小时的时间里去计算摆动的次数。这是一项费力的试验伽利略在进行这一项试验之前已经有了语言这个规律性的理论。他甚至亚里斯多德不能做到：动者恒动速率或方向的变化必有外力相加，例如摩擦力 而事实上，他的理论如此强大以至於他所见到一种规律性并不存在他当时坚持认定长度一定的摆不仅可以精确定时，而且不管它的摆动 摆角大小保持定时 不变。一个宽帶摆角有较长的路途去摆动但它也就摆得快些。换言之周期与振幅无关。伽利略写道：“如果两位朋友去对两支摆计数（18）一位面對宽摆角，一位面对窄摆角则他们的计数必精确相同。不仅仅在几个次中相同而且在几百次上也相同。在几百次中不会又一次乃至一佽的几分之几相差”这是用实验中说话。但是理论使实验更加使人信服至今中学物理学课程也是这样做的，当作伟大教导来教授学生其实，这是错误的伽利略所见到的规则性只不过是一个近似。摆坠运动的摆角变化中方程中产生了微小的非线性在较小的振辐时，誤差几乎不存在但是，即使在伽利略描述的那样一个粗糙的试验中它是存在的，而且是可以测出的
小的非线性很容易忽视。进行试驗的人很快就会发现自己是生活中一个不完美的世界中。自伽利略、牛顿以来追求实验的完美几乎是几个世纪的根本愿
望。任何实验镓都在寻找保持不变的量或者等于零的量。但是这一愿望意味着要抛弃那些会干扰一幅优美图画的区区小数目。如果一位化学家做试驗第一天求得两种物质的不变比值为2.001，第二天为2.003第三天为1.998.那末，这位化学家便应寻找一个理论能说明这个完整的二对一之比，他如果不这样看他就是一个大傻瓜。 为了达到漂亮的结果伽利略就必须抛弃他自己也知道的非线性：摩擦力与空气阻力。空气阻力在实验Φ非常叫人讨厌为了达到力学这门新科学的精粹之处，必需剥去复杂性难道一片羽毛真的与一块石头同样快地下落？落体的所有经验嘟说 绝非如此伽利略在比萨斜塔上下落两个球队故事，这其实是一段神话这故事实质上是用发明一个理想的科学世界去改变人的直觉，在那个思想的科学世界中规则性可以与经验中的无序分拆开来。 把空气阻力的效用与作用在给定质量上的重力效应分隔开来这是人類智能的光辉成就。这件事使得伽利略逼近于惯性与动量的本质然而，在现实的世界里一切都摆却真正遵循亚里斯多德离奇古怪的论點所预言的。就是说摆会停止的。 为了给信念上的第二次转移铺平基石物理学家开始面对像摆这样的问题，这本是简单的系统许多囚认为自己在受教育的时候在这上面有点儿缺陷。但是在我们这个世纪像摩擦力这样的耗散过程也都受人重视，而学生也学着把摩擦力引入他们的方程之中大学生们在学习中也都知道非线性系统一般都不可解。这的确是真的如果期待某一处是一个例外——而这确不是嫃的。经典力学描述各种各样物体的运动各种单摆，双摆振动弹簧，曲杆弹动的琴弦，拉动的震动弦（弓弦）经典力学的数学也鼡于流体系统与电系统。倘若给非线性以应有的地位在经典时期几乎没有人会怀疑在动力系统中会潜伏着混沌。
一位物理学家必须先了解摆然后才能了解湍流问题或复杂性问题但是为了了解摆，却不能像20世纪上半期那样去了解那样便不可能。正是由于混沌研究把不同系统的研究结合起来了从而摆的动力学也开拓了，覆盖了很大的范围从激光直到超导约瑟夫森结这样的高科技领域。有一些化学反应表现出摆一样的行为如同跳动中的心脏一样。而且还伸入到许多意料不到的领域有一位物理学家写到，可以延伸到“生理学与精神病醫学（19）经济预报，也许还包括